Чтение онлайн

По правде говоря, только читая Порецкого, и начал Мартьянов что-то понимать в методе алгебры логики.

Порецкий говорил ученому собранию: формы алгебры — количественные, — а формы логики — качественные. Этим они существенно отличаются друг от друга. Но можно приспособить приемы алгебры так, что они будут вполне точно отражать и качественные отношения. И замечательно то, что для этой цели приходится не усложнять, а, наоборот, очень упрощать приемы алгебры. Алгебра логики проста, как ясный день.

Он говорил: ее приемы позволяют переводить словесные условия задачи в символическую форму, — составляются формулы. Но сила метода не столько в символических обозначениях, сколько в выборе правильных соотношений, действительно существующих в логике, — отношений, которые выражаются определенными операциями. Алгебра логики — алгебра отношений.

Он показывал, как можно выражать разные суждения в виде равенств. Например, «если не будет дождя, то мы отправимся в сад и будем там пить чай», — а на языке алгебры это всего лишь a1 = bc. И как, решая такие равенства, можно значительно облегчить тот мыслительный процесс, который именуется в классической логике качественным умозаключением. Опять-таки словесная форма переводится в форму математическую. Равенства можно между собой и складывать и перемножать. Заменять целую систему равенств одним равенством. Исключать отдельные классы из равенства. Определять один класс через все прочие… Словом, открывается путь ко всяким преобразованиям и упрощениям.

Преобразования и упрощения! Алгебра логики настойчиво предлагала эту возможность, которая, между прочим, больше всего и пленит когда-нибудь инженера Мартьянова.

Порецкий в своем докладе уверял, что применение правил преобразования логических равенств «может быть только приятным». Буль, помнится, говорил об удовольствии, хотя его книгу и упрекали в недостатке изящества. Кто же скажет, что эстетика — сфера не математическая?

Подчеркивал Порецкий и важность того, что выражения алгебры логики можно разлагать на элементарные составные части — атомы речи. Подобно тому, как алгебраические выражения разлагаются на простые сомножители. Звучное слово «конституенты» эхом прокатывалось по залу казанского собрания.

Собрание слушало и… не знало, как ко всему этому отнестись. Забавное увлечение или заявка новой науки?

Но Порецкий и не думал выдавать ее за шкатулку чудес. Он говорил:

— Было бы слишком неосмотрительно полагать, что операции над классами в логике ничем не отличаются от операций над числами. Позвольте напомнить. В самой математике сложение с положительным числом совсем не то, что с отрицательным. Умножение целых чисел совсем не то, что умножение дробей. Умножение линий совсем не то, что чисел… То же между логикой и алгеброй. Это не одно и то же. Нам вполне достаточно, что здесь имеется известная аналогия. Аналогия, и не больше. Но эта аналогия открывает нам большие возможности.

Отступив к доске, он предложил аудитории с легкой усмешкой логическую задачу. О девицах, приехавших на дворянский бал. О них известно следующее. Во-первых, каждая из девиц была или благовоспитанна, или весела, или молода, или красива. Во-вторых, когда начались танцы, то оказалось, что все нетанцующие девицы были некрасивы и что каждая из танцующих была или молода, или весела, или благовоспитанна. В-третьих… Так выписывал он об этих девицах четырнадцать разных суждений, или посылок, как говорят в логике. Четырнадцать всевозможных вариантов из понятий «веселая», «молодая», «красивая», «благовоспитанная», вместе с их отрицаниями, соединенных между собой то словечком «и», то словечком «или». Хватит ли доски? Написав последнее, четырнадцатое условие, по которому, «когда уехали все неблаговоспитанные, все немолодые, все невеселые и все некрасивые, никаких девиц на балу более не осталось», — Порецкий спросил, не желает ли кто-нибудь решить эту логическую задачу, построив соответствующие умозаключения? Установить прежде всего, возможна ли подобная задача и нет ли между ее посылками противоречий. А потом уж описать точным образом «весь мир девиц бала», выражаясь по-булевски: определить отношения между их категориями. Пожалуйста, кто хочет?

Аудитория молчала, пока докладчик окидывал ряды насмешливым взглядом. Никто не вызвался. Все понимали, проходившие логику еще в классических гимназиях, что за такую задачу с обычным приемом словесных рассуждений лучше и не браться.

Насладившись замешательством собрания, Порецкий тут же провел сеанс алгебры логики. Быстро перекроил девиц на буквенные знаки. Составил на каждое из условий свое уравнение, приравнивая к единице, если оно утвердительное, и к нулю, если оно отрицательное, — и, проделав у всех на глазах еще некоторые операции сложения, умножения, вынесения за скобки, получил ответ. Задача возможна. И вот какой следует вывод…

Он поклонился, как бы представляя своих девиц и подтверждая кстати, что алгебра логики вовсе не убивает чувства юмора.

Было в докладе Порецкого и нечто такое, чего не знали еще ни сам Буль и никто из его усердных комментаторов. Обычно в логике ищут: какие умозаключения можно вывести из данных первоначальных посылок? Как, например, с этими девицами. Порецкий обнаружил, что алгебра логики обладает и обратной силой: можно находить, из каких же посылок выведено то или иное умозаключение. Пожалуйста, показал он на доске, надо сделать только некоторые преобразования в формулах. Обратный метод решения логических равенств — оригинальное открытие Порецкого.

Начав с ученического освоения незнакомой, едва пробивающейся области, казанский астроном-математик уже на второй год сумел открыть в ней новую страницу.

Заканчивая перед несколько смущенной аудиторией доклад, он выразил свою убежденность в той мягкой манере, какая принята в хорошем ученом обществе:

— Мне думается, что юная отрасль знания имеет несомненное право на существование. Потому именно, что она позволяет решать задачи, ответа на которые нет ни в математике, ни в логике. Благодарю вас, господа!

«Булевский курьез» становился наукой или, точнее, некой научной областью, подталкиваемой усилиями одиночек.

Печать математики лежала на ней так явно, что понятия и суждения, обозначаемые буквами, стали называть запросто логическими переменными, а сложные выражения, составляе мые из них, — логическими функциями. Пограничная наука говорила на смешанном языке.

Ясно проступала и ее важнейшая особенность: алгебра логики — алгебра двух величин. Алгебра одного из двух. Или алгебра альтернативы. Понятие может быть взято либо в своем полном объеме («весь мир речи» по Булю), — и тогда его можно приравнять к единице, либо, в противоположность ему, понятие невозможное («пустой класс»), — и тогда его следует считать за нуль. Итак, нуль или единица. Одно из двух.

То же и в исчислении высказываний. Всякое суждение может быть либо ложным, либо истинным. Одно из двух. «Снег, выпадающий летом, черный» — ложно. «Снег, выпадающий зимой, белый» — истинно. Первое предложение надо приравнять нулю, а второе, в противоположность ему, единице. Алгебра альтернативы.

Но ложность или истинность сложных выражений зависит от того, ложны или истинны входящие в них составные части, — эти самые неуловимые в обычной человеческой речи конституенты, Алгебра логики дает приемы, как разлагать на составные части: длинные суждения на простейшие, классы на подклассы. И приверженцы новой науки старательно упражнялись этой игре в конституенты, которую они назвали по-ученому «разложением нуля и единицы». Они видели в ней сильнейший метод логического анализа, как увидит впоследствии Мартьянов роль конституентов и в анализе релейных схем. Уж ему-то придется всласть поиграть, до седьмого пота, с нулями и единицами!

Нуль и единица. Между ними танцует вся алгебра логики. И закономерность такого двоичного счета прекрасно обосновал профессор математики Московского университета Иван Иванович Жегалкин.

Быть может, логика служила ему утешением в то мрачное время царской реакции, когда вместе с Тимирязевым, Лебедевым и другими покинул он в знак протеста университет. Занятия логикой «на досуге»! Лишь после революции, вернувшись снова в университетские стены, смог он опубликовать свое выдающееся исследование.