Чтение онлайн

Когда в последующие века математика обрела вид строгой науки, были сделаны многочисленные попытки доказать Евклидовы аксиомы. Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, которая гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую.

В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности, хотя бы потому, что является высказыванием о всей бесконечной прямой в целом, тогда как в нашем опыте мы сталкиваемся только с большими или меньшими отрезками прямых. Поэтому на всем протяжении истории геометрии — от древности до первой четверти XIX века — имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

С таких попыток начал и Лобачевский. Чтобы доказать пятую аксиому, он принял противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести бесконечное множество параллельных прямых. Лобачевский пытался привести это допущение к противоречию с другими аксиомами Евклида, однако по мере того как он развертывал из сделанного им допущения все более и более длинную цепь следствий, ему становилось ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться.

Действительно, пусть дана некая прямая и точка, лежащая вне ее. Предположим, что из точки к этой прямой опущен перпендикуляр. В каком же случае прямая, проведенная через конец данного перпендикуляра, будет параллельна Данной прямой? Если следовать Евклидовой геометрии, это возможно только в том случае, если: а) она лежит в той же плоскости, б) угол между ней и перпендикуляром равен 90°. Предположим теперь, что этот угол не равен 90°, а отличается от него на какую-то величину а. В этом случае, с точки зренияЕвклидовой геометрии, данные прямые не будут параллельны и должны пересечься. Причем точка пересечения будет тем ближе от перпендикуляра, чем больше а и чем короче его длина. Если же а бесконечно мало (то есть величина ее стремится к нулю), а длина перпендикуляра, наоборот, бесконечно велика, то точка пересечения переместится в бесконечность. Другими словами, бесконечно сближаясь, рассматриваемые нами прямые все же никогда не пересекутся. Очевидно, что таких прямых (каждой из которых соответствует свое значение а) через данную точку можно провести сколь угодно много.

Итак, вместо противоречия Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически совершенно стройную и безупречную систему положений, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная Евклидова геометрия. Эта система положений и составила так называемую неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Все теоремы, опирающиеся на аксиому о параллельных, в формулировке Лобачевского с точки зрения геометрии Евклида представляются парадоксальными. Например: 1) Сумма углов треугольника величина непостоянная, и она всегда меньше двух прямых; 2) не около всякого треугольника можно описать окружность; 3) подобных фигур нет (в частности, в геометрии Лобачевского треугольники равны, если три угла одного равны соответственно трем углам другого); 4) среди фигур с четырьмя углами совсем нет прямоугольников. Как показали позднейшие исследования, геометрия Лобачевского совершенно истинна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло). Гиперболический параболоид играет в геометрии Лобачевского ту же роль, что плоскость в геометрии Евклида. (Например, отрезком здесь называется дуга, длина которой определяет кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности.) В каком же соотношении находятся между собой две геометрии и какую из них мы можем считать «более правильной»? Сам Лобачевский совершенно верно утверждал, что различия между его геометрией и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства. В Евклидовой геометрии пространству отводится роль беспредельной и нейтральной протяженности, вместилища, в которое погружены тела. Однако Лобачевский был уверен, что наше представление о «плоском» пространстве — не более чем дань традиции, никогда не проверявшаяся опытным путем. На самом деле физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, Евклидовым. Мерой отличия любого пространства от Евклидова является его кривизна. В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами Евклидовой геометрии. Однако при измерении беспредельных космических расстояний пренебрежение кривизной пространства может привести к серьезным ошибкам. Лобачевский пытался доказать истинность своей теории измерением углов космических треугольников, но обнаруженные им отклонения оказались в пределах точности наблюдения.

Свои выводы Лобачевский изложил в 1829 г. в работе «О началах геометрии», которая была опубликована в университетском журнале «Казанский вестник». Затем появились другие работы: «Воображаемая геометрия» (1835),

«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1838). В 1837 г.

«Воображаемая геометрия» была опубликована в одном из французских научных журналов. В 1840 г. в Берлине на немецком языке вышли «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского. Эта брошюра вскоре попалась на глаза знаменитому немецкому математику Гауссу и привела его в восторг. (Гаусс вообще был первым математиком, которому пришла мысль о неевклидовой геометрии; в своих письмах и заметках он определенно высказывался об этом еще в конце XVIII века, однако ни одной работы на эту тему так и не написал.) Чтобы прочитать другие сочинения Лобачевского, Гаусс даже выучился читать по-русски.

Остальные математики не обратили на великое открытие Лобачевского никакого внимания. Впрочем, винить современников в непонимании его идей едва ли справедливо. Во всех своих публикациях Лобачевский был чересчур краток. Его теория лежала на грани человеческого понимания. Самый выдающийся русский математик того времени Михаил Остроградский дал такой отзыв на работу Лобачевского: «Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее». Даже Гаусс писал в одном из писем, что «…объяснения Лобачевского… напоминают запутанный лес, через который трудно пройти и который трудно одолеть…» Если Лобачевского с трудом понимали Остроградский и Гаусс, то от кого еще ему было ждать понимания? Потребовалось полвека для того, чтобы его идеи вошли в математическую науку, сделались ее неотъемлемой составной частью и явились тем поворотным пунктом, который в значительной мере определил весь стиль математического мышления последующей эпохи.

Между тем жизнь Лобачевского протекала прежним образом. В октябре 1832 г. он женился на молодой девушке Варваре Алексеевне Моисеевой, принадлежавшей к одной из наиболее видных и богатых фамилий Казанской губернии. Семейная жизнь принесла ему много огорчений. Старший сын, очень похожий на отца, совсем молодым умер от чахотки. Другой сын бросил университет не доучившись. Самый младший из его сыновей вообще родился неполноценным. Жизнь дочери Лобачевского сложилась очень неудачно. Его самого к старости стали преследовать финансовые неурядицы. Он разорился, имение его жены было продано за долги. Летом 1846 г. вследствие каких-то темных интриг Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 г. — с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. За роковыми годами потрясений наступили годы увядания. Пришла старость — преждевременная, гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Здоровье Лобачевского быстро разрушалось, он стал терять зрение и к концу жизни совершенно ослеп. Разбитый жизнью и больной он умер в феврале 1856 г.

Лобачевский совсем чуть-чуть не дожил до признания своей теории. Когда в 1855 г. умер Гаусс, были опубликованы его дневники и письма. Множество восторженных отзывов о Лобачевском взбудоражили математиков. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы, — из всех европейских университетов в Казань полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов. Интерес этот оказался стойким и длительным. Позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского, касающиеся разных областей математики. Оказалось, что несмотря на свою огромную загруженность он написал немало — набралось пять объемистых томов. В них имеются работы не только по неевклидовой геометрии.

Лобачевский нашел новые методы вычисления некоторых определенных интегралов, способы решения некоторых уравнений высших степеней, он занимался бесконечными рядами и написал несколько интересных статей по механике и физике.

Сейчас приоритет Лобачевского в создании неевклидовой геометрии признается во всем мире. Английский математик Клиффорд назвал его «Коперником геометрии». Так же, как Коперник разрушил казавшуюся незыблемой догму о неподвижной Земле, Лобачевский первым подверг сомнению наши обыденные представления о свойствах окружающего нас пространства.

Дмитрий Иванович Менделеев родился в феврале 1834 г. в городе Тобольске, в семье директора местной гимназии. Его отец в год рождения Дмитрия ослеп на оба глаза и должен был в связи с этим оставить службу и перейти на скудную пенсию. Воспитание детей и все заботы о многочисленной семье целиком легли на плечи матери — Марии Дмитриевны, энергичной и умной женщины, которая для улучшения материального положения семьи взяла на себя управление стекольной фабрикой своего брата в 25 км от Тобольска. В 1848 г. стекольный завод сгорел, и Менделеевы переехали в Москву к брату матери. В 1850 г. после долгих хлопот Дмитрий Иванович поступил на физико-математический факультет Петербургского педагогического института. В 1855 г. он окончил его с золотой медалью и был направлен учителем гимназии сначала в Симферополь, а потом в Одессу. Однако в этой должности Менделеев пробыл совсем не долго.

Уже в 1856 г. он отправился в Петербург и защитил магистерскую диссертацию на тему «Об удельных объемах», после чего в начале 1857 г. был принят приват-доцентом по кафедре химии в Петербургский университет. 1859 — 1861 гг. он провел в научной командировке в Германии, в Гейдельбергском университете, где ему посчастливилось работать под руководством выдающихся ученых Бунзена и Кирхгофа. В 1860 г. Менделеев участвовал в работе первого международного химического конгресса в Карлсруэ. Здесь его горячо заинтересовал доклад итальянского химика Канниццаро. «Решающим моментом в развитии моей мысли о периодическом законе, — рассказывал он много дет спустя, — я считаю 1860 г., съезд химиков в Карлсруэ… и высказанные на этом съезде итальянским химиком Канниццаро идеи. Его я считаю настоящим моим предшественником, так как установленные им атомные веса дали необходимую точку опоры… Идея возможной периодичности свойств элементов при возрастании атомного веса, в сущности, уже тогда мне представилась внутренне…»