Чтение онлайн

Дальнейшее углубление теории дискретных групп ортогональной симметрии в трудах А. В. Шубникова и ее рассмотрение в историческом аспекте немыслимо без анализа общего состояния этой теории. К началу 50-х годов нашего столетия теорию ортогональной симметрии можно было в целом считать законченной, однако существовало, да и сейчас существует, множество вопросов, нуждающихся в уточнении, дополнении, упрощении. Не секрет, что вывод 230 групп, данный в свое время Е. С. Федоровым и А. Шенфлисом, весьма сложен для восприятия, а модифицированное их повторение С. А. Богомоловым не менее трудно для понимания. Проблема наглядного вывода федоровских групп решена в работах Н. В. Белова, посвященных как отдельным вопросам строения федоровских групп (Браве-решеткам, элементам симметрии пространственных федоровских групп), так и самому выводу в популярном «Классном методе вывода пространственных групп симметрии», увидевшем свет в 1951 г. Н. В. Белов неоднократно возвращался к этой проблеме, постоянно упрощая и делая все более наглядным механизм «порождения» одних групп другими.

Детализация учения об ортогональной симметрии привела к своеобразному «размежеванию» школ А. В. Шубникова и Н. В. Белова. Действительно, в трудах А. В. Шубникова в основном рассматриваются проблемы уточнения и классификации свойств точечных групп симметрии [240, 258, 299, 300, 329], в то время как в рамках школы Н. В. Белова, помимо максимального внимания к федоровским группам и 14 решеткам Браще, развивается и дополняется учение об одномерных и двумерных малых кристаллических группах, рассматриваются проблемы их классификации, где интересы А. В. Шубникова и Н. В. Белова пересекаются. А вот работы по точечным группам в рамках школы Н. В. Белова скорее исключение, чем правило, да и они рассматриваются больше с пространственных, чем с «точечных» позиций. Поэтому для школы Н. В. Белова и логичен интерес к выводу вначале четырехмерных решеток Браве (на основе известной теоремы Цассенхауза, для получения групп G4 достаточно знать решетки и точечные группы G40), а затем и самих групп. Иной подход к «малым многомерным» группам симметрии типа G41, G42... характерен для А. Ф. Палистранта в рамках общей систематики групп вида Gpqrs. Отметим, что алгоритм отыскания четырехмерных точечных групп был найден Э. Гурса в 1889 г. (G4 = прямому произведению групп дробно-линейных преобразований), а в 1951 г. Харли нашел почти все четырехмерные кристаллографические группы. В 1967 г. их число было уточнено до 227.

Несколько в стороне от работ А. В. Шубникова по симметрии стоит его статья 1956 г. [219]. По словам В. А. Копцика: «Принцип Пьера Кюри, воскрешенный из забвения и заново прочитанный Шубниковым..., породил обширную литературу»,[* Копцик А. В. Очерк развития теории симметрии и ее приложений к физической кристаллографии за 50 лет. — Кристаллография, 1967, т. 12, вып. 5, с. 768.] в которой краткие соображения, извлеченные из трудов П. Кюри, легли в интерпретации A. iB. Шубникова и его учеников в основу решения многих вопросов физической кристаллографии. Эта статья стала центральной в философском жанре литературы о симметрии. Ее тема, беря свое начало в ранних статьях Шубникова [70, 124, 151], находит окончательное решение в работе [261] и в книжке [343], вышедшей уже посмертно в 1972 г.

Следующая, чрезвычайно важная серия работ А. В. Шубникова и его учеников связана с предельными группами ортогональной симметрии и их приложениями к физической кристаллографии. Поскольку физическая кристаллография в трудах А. В. Шубникова выделена в отдельную главу, то во всех рассматриваемых работах будут анализироваться только те разделы, которые связаны с развитием собственно теории симметрии. Основоположником этих проблем следует считать П. Кюри, и это легко установить по высказываниям А. В. Шубникова: «Основная заслуга Пьера Кюри заключается в том, что он, занимаясь вопросами симметрии конечных фигур, как кристаллографических, так и некристаллографических, точно установил существование семи предельных групп симметрии, содержащих оси бесконечного порядка. Он же убедительно показал, что предельные группы симметрии могут быть успешно использованы для описания физических свойств кристаллов. Таким образом, явно „некристаллографические“ группы оказались в некотором смысле типично кристаллографическими» [343, с. 33, 34].

Каким же образом А. В. Шубниковым была развита теория предельных групп симметрии? Как было упомянуто ранее, впервые понятие предельных групп симметрии выкристаллизовалось в его монографиях, вышедших в 1940 г. После выхода в свет книги [132] А. В. Шубников вновь возвращается к этой тематике в своих работах 1944 г. [145, 147], за которыми в 1946 г. появилась монография, посвященная этому же вопросу [149]. Определение текстуры, данное А. В. Шубниковым, практически остается в силе и по настоящее время: «Под текстурой мы разумеем всякое однородное тело нерешетчатой структуры, состоящее из множества элементарных частиц любой физической природы, определенным образом (по законам симметрии) ориентированных в пространстве. Примерами текстур могут служить: кристаллические текстуры, состоящие из ориентированных игольчатых или пластинчатых кристаллов; волокнистые материалы вроде дерева; смектические (слоистые) жидкие кристаллы; неслоистые (нематические) жидкие кристаллы, состоящие из ориентированных по длине молекул...» [198, с. 5]. В этих работах практически полностью использованы все основные типы предельных групп симметрии и группы семиконтинуумов. Важность развития этого направления подчеркнута во введении к избранным трудам А. В. Шубникова: «Идея о возможности управления свойствами материалов при частичном упорядочении ориентировок кристаллитов, образующих текстуру, стала сейчас обычной. Она широко используется при создании многих практически важных материалов, прежде всего сегнетоэлектрических керамических текстур — самого распространенного пьезоэлектрика современной пьезотехники, гидроакустики, техники связи. Идеи А. В. Шубникова о симметрии и свойствах подобных анизотропных сред вошли не только в практику. На их основе продолжают решаться многие задачи кристаллофизики» [350, с. 4]. Это направление нашло продолжение в работах И. С Желудева, Ю. И. Сиротина и др. Дальнейшее обобщение состояло в получении групп антисимметрии текстур, также разработанных А. В. Шубниковым [234]. Предельные группы антисимметрии текстур, вначале под флагом предельных точечных групп антисимметрии, появились в его известной работе [173], а в 1960 г. Б. А. Тавгер продемонстрировал их физическую реальность.

Теория предельных групп симметрии, восходя к ранним работам Шубникова, Кюри, Хееша, завершилась работой А. В. Шубникова [162], открывшей с помощью теории симметрии новую главу «тензорной кристаллографии». «Известно, — пишет сам автор, — что многие физические явления, происходящие в кристаллах, могут быть описаны с помощью векторов и тензоров. Приписывая физическим явлениям определенную симметрию, естественно перенести понятие симметрии и на те величины, которыми эти явления описываются, то есть на векторы и тензоры. Первой задачей, которую мы себе ставим в настоящей работе, как раз и является установление понятия симметрии векторов и тензоров. Вторая наша задача состоит в выводе всех возможных групп симметрии векторов и тензоров» [162, с. 347]. Эта работа генетически восходит к книге A. В. Шубникова, Г. Б. Бокия и Е. Е. Флинта [134]. В 1949 г. вышла работа А. В. Шубникова [164]. Дальнейшее уточнение и расширение этих понятий связано в первую очередь с работами И. С. Желудева, В. А. Копцика (особо следует отметить его «Шубниковские группы»).

B. Е. Найша, Ю. И. Сиротина (наиболее полные таблицы размерностей групповых тензорных пространств), Л. А. Шувалова (предельные группы двойной антисимметрии) и др.

По словам Б. К. Вайнштейна, в современной кристаллографической литературе общепризнано, что «вершиной творчества Алексея Васильевича в области теории симметрии явилось открытие антисимметрии. Рожденное в чистых высотах абстракций обобщение понятия кристаллографического равенства фигур и введение антиравенства привели в дальнейшем к появлению целого потока работ по черно-белой и цветной симметрии ... во всех этих работах теория симметрии получила выход за рамки геометрического трехмерного пространства, что явилось крупнейшим после работ Е. С. Федорова обобщением» [350, с. 8].

Генезис понятия антисимметрии, сформулированного А. В. Шубниковым, по характеристике А. М. Заморзаева, можно описать следующим образом: «Высказанная Шпайзером и практически осуществленная Вебером идея изображения двусторонней плоской фигуры (ленты, слоя) на односторонней плоскости чертежа с помощью черного и белого цвета, соответствующих „лицу" и „изнанке" фигуры, произвела глубокое впечатление на Г. Хееша и А. В. Шубникова...

Для Хееша был вполне естественен скачок на одно измерение выше: от разработки принципа вывода 80 слоевых групп (в качестве черно-белых двумерных) непосредственно из 17 плоских федоровских к попытке вывода четырехмерных „гиперслоевых" групп (в виде черно-белых трехмерных) и 230 федоровских; попутно им были получены 122 четырехмерные точечные группы с особенной (инвариантной) гиперплоскостью (как черно-белые трехмерные точечные) из 32 гадолинских классов. Хееш интересовался прежде всего геометрической задачей многомерного обобщения классических групп, лишь мимоходом указав на возможность физического толкования знака четвертой координаты: для математической четкости вопрос и формулировался на „четырехмерном“ языке, отпугивавшем кристаллографов. Отчасти поэтому его новаторские работы не были своевременно оценены кристаллографами, а математики и физики просто не заметили статей Хееша в кристаллографическом журнале.

Иначе подходил к идее антисимметрии А. В. Шубников. Построив в своей книге „Симметрия" под впечатлением рисунков Вебера интерпретацию ленточных групп чернобелыми бордюрами... и воспроизведя впоследствии те и другие рисунки... он не сразу перешел к следующему измерению. Считая, что „дальнейшее усовершенствование учения о симметрии может иметь смысл лишь в том случае, если оно находит или найдет в будущем себе оправдание в практике естествознания" ([148, с. 76], — Я. Д.), Шубников мог сформулировать понятие антисимметрии только как принципиальное расширение классической симметрии за счет добавления изменения физического свойства. Глубокое убеждение в прикладной ценности развиваемого им учения, разделявшееся далеко не всеми кристаллографами до работ Кокрена, привело ведущего советского кристаллографа от докладов к монографии „Симметрия и антисимметрия конечных фигур“, вышедшей в 1951 году».[* Заморзаев А. М. Теория простой и кратной антисимметрии. Кишинев: Штиинца, 1976, с. 8, 9.] Вот что пишет по этому поводу Б. Н. Делоне: «Комитет по присуждению Государственных премий колебался, за какое изобретение наградить Алексея Васильевича: за текстуры или за черно-белые группы. Уже перед самим решением вопроса просили меня ответить, что я думаю. Когда Алексей Васильевич выдумал черно-белые группы и нашел, что таких точечных групп 58, он, чувствуя, что это все-таки уже совсем математика, прочел об этом доклад у нас в совете Математического института АН СССР. С точки зрения математика это был вопрос о гомоморфных отображениях 32 точечных групп на группу второго порядка. Вопрос, так сказать, тривиальный и не очень сложный. Поэтому я ответил комитету, что лучше дать премию за текстуры, и А. В. Шубников был удостоен за эти исследования Государственной премии.

Теперь я вижу, что я, как математик, глубоко ошибался. Хотя и правда, что Г. Хееш нашел те же 58 групп гораздо раньше А. В. Шубникова, о чем Алексей Васильевич, конечно, не знал, но его работа не была замечена. Это же открытие А. В. Шубникова, изложенное им в книге „Симметрия и антисимметрия конечных фигур“, положило начало огромному потоку работ по таким же и еще более общим группам, которые оказались очень полезными для разных исследований в физике твердого вещества и кристаллографии... Конечно, правы те, которые говорят, что после исследований А. В. Гадолина, Е. С. Федорова и А. Шенфлиса в теории кристаллографических групп самые важные — это работы А. В. Шубникова об обобщенных группах симметрии» [Л. 57, с. 382—384].

Рассмотрим содержание замечательной работы А. В. Шубникова, написанной в 1945 г. [148]. Приводимые ниже слова автора полностью характеризуют ученого и как кристаллографа-теоретика, и как кристаллографа-практика, чем и объясняются его блестящие достижения: «Первое, на чем мы настаиваем, — это, если позволительно так выразиться, узаконение фактического положения вещей в отношении практики интерпретации симметрии материальными фигурами. Мы не можем целиком согласиться с мнением некоторых математиков, для которых учение о симметрии есть просто учение о группах ортогональных преобразований. Для нас корни его лежат в широко понимаемом естествознании; мы не можем отделить операцию преобразования от объекта исследования; не можем говорить, в частности, о группе симметрии, определяемой одной осью симметрии бесконечного порядка, не имея в руках соответствующего образца фигуры. Симметрия есть широко распространенное явление природы, и его нельзя отождествлять с той или иной математической интерпретацией симметрии» [148, с. 76].