Чтение онлайн

Существует множество классических примеров хаотических систем, большинство из которых мы уже упоминали. Если говорить о непрерывных динамических системах, то наиболее ярким примером системы, не сохраняющей энергию (диссипативной системы), будет система Лоренца — упрощенная модель земной атмосферы.

Система Эно — Хайлса, связанная с задачей трех тел, — это классическая модель хаотической системы без диссипации (такие системы называются гамильтоновыми).

Если говорить о дискретных динамических системах, то вам уже знакомы логистическое отображение Мэя (о нем мы подробнее поговорим далее) и двухмерное отображение Эно — две системы, по форме схожие с подковой Смэйла и, что более важно, обладающие символической динамикой. Примером символической динамики является сдвиг Бернулли — возможно, простейшая разновидность дискретной динамической хаотической системы.

Сдвиг Бернулли определяется следующим образом: для данного числа х на интервале от 0 до 1, записанного в виде десятичной дроби, нужно сдвинуть запятую на одно положение вправо и отбросить первую цифру (то есть целую часть полученного числа). Пример:

Мы сдвинули запятую на одну позицию вправо и стерли цифру 3. Аналогично,

Следовательно, орбита или траектория начального значения х = 0,324571 будет записываться так: {0,324571; 0,24571; 0,4571; 0,571; 0,71; 0,1; 0; 0; 0}. Эта орбита стремится к фиксированной точке 0 (точечному аттрактору, или фокусу).

Как вы узнаете позже, сдвиг Бернулли обладает хаотическим поведением, поскольку в нем присутствуют и эффект бабочки, и эффект карточной колоды. Чувствительность к начальным условиям несложно подтвердить экспериментально: допустим, что мы хотим проследовать вдоль траектории точки х = 1/3 = 0,3 = 0,33333. Так как результатом измерения может быть лишь конечное число десятичных знаков, рассмотрим у = 0,3333. Ошибка будет составлять менее одной тысячной. Изначально орбиты х и у будут располагаться поблизости, однако затем отдалятся друг от друга:

Подобно остальным периодическим десятичным дробям, х = 0,3 определяет периодическую орбиту для сдвига Бернулли. В нашем случае точка х имеет период, равный 1, то есть это фиксированная точка, так как она повторяется бесконечное число раз. И напротив, у = 0,3333, подобно всем остальным непериодическим десятичным дробям, — это точка, составляющая часть впадины аттрактора, расположенного в точке 0, так как в долгосрочном периоде ее орбита притягивается к точке 0. Ошибка измерения, которая изначально составляла менее одной тысячной (х — у = 0,3 — 0,3333 = 0,00003), значительно возрастет и будет иметь порядок нескольких десятых (после четвертой итерации ошибка будет равна 0,3 — 0 = 0,3).

Два начальных условия, близкие друг к другу, порождают две траектории, которые по прошествии определенного времени никак не связаны между собой.

Где в нашем случае проявляется эффект карточной колоды? Рассмотрим бесконечные непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа. Построим орбиты чисел (2)0,5 – 1 (= 0,41421356237…) и — 3 (= 0,14159265358…):

Что вы видите? Полученные десятичные дроби абсолютно случайны! Они напоминают номера лотерейного тиража. Это случайность, порождаемая хаосом. Орбиты чисел (2)0,5– 1, — 3 или любого другого иррационального числа будут колебаться между 0 и 1. они будут приближаться к нулю столь же часто, как и к единице (или к 0,5). Знаки в десятичной записи иррациональных чисел не подчиняются какому-либо закону. Таким образом, если два рациональных числа — периодические десятичные дроби, значение которых точно известно, — порождают орбиты, которые рано или поздно будут периодическими (то есть начнут повторяться), то иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби), напротив, порождают исключительно беспорядочные орбиты. Так как любое рациональное число бесконечно близко к некоторому иррациональному, периодические и непериодические орбиты неизбежно будут переплетаться между собой. В этом и заключается эффект карточной колоды.

Можно задаться вопросом: где в этом примере выполняются операции растяжения и складывания, которые порождают хаос? Чтобы обнаружить их, нужно посмотреть, какие математические действия мы совершаем при выполнении сдвига Бернулли. Мы уже говорили, что сдвиг Бернулли представляет собой сдвиг запятой в записи десятичной дроби на одну позицию вправо с последующим удалением первой цифры полученного числа. Когда мы сдвигаем запятую, в действительности мы умножаем число на 10, то есть «растягиваем» его, а когда мы стираем первую цифру, то уменьшаем, или «складываем, сгибаем» число. И вновь мы видим магический рецепт хаоса.

* * *

СДВИГ БЕРНУЛЛИ

Символическая динамика имеет и другие интересные свойства.

1) Она не поддается компьютерным вычислениям. Так как компьютеры работают с ограниченным числом десятичных знаков в записи дробей, для них все числа представляют собой точные десятичные дроби. Следовательно, если мы запрограммируем сдвиг Бернулли, то увидим на экране компьютера, что аттрактором всех орбит (подобно орбитам всех точных дробей) будет точка 0. Ни малейшего намека на хаос.

2) Существуют периодические орбиты с произвольным периодом. Так как периодические дроби могут иметь произвольный период (например, состоящий из шести цифр:

то будут наблюдаться орбиты с произвольными длинами периодов: 1, 2,3,4, 5. Математики Ли Тянь-Янь и Джеймс Йорк на основе теоремы Шарковского сформулировали знаменитую теорему, согласно которой если для непрерывной функции существует орбита с периодом 3, то для нее существуют орбиты с любым периодом. Точная формулировка теоремы звучит так: существование 3-цикла подразумевает существование n-цикла (для n — 1,2,3,4, 5…). Ли и Йорк удачно подытожили смысл теоремы в названии свой статьи: «Период, равный трем, означает хаос».

3) Адамар и Смэйл обнаружили, что символическая динамика — один из самых заметных признаков хаоса. И соленоид, и подкова Смэйла, и аттрактор Лоренца обладают символической динамикой. Если мы рассмотрим десятичные дроби в двоичной системе счисления, то сможем описать каждую траекторию аттрактора Лоренца последовательностью нулей и единиц.

К примеру, траектория 0,11000101… сначала совершит два витка вокруг правой части аттрактора (так как после запятой записаны две единицы), затем — три витка вокруг его левой части (так как за двумя единицами следуют три нуля подряд) и так далее. Применив эту символическую динамику, можно доказать существование хаоса в системе Лоренца: каждая траектория будет беспорядочно вращаться вокруг правой или левой части аттрактора.

* * *

Рассмотрим теперь логистическое отображение Мэя, которое задается следующим уравнением в конечных разностях:

хn+1 = kхn (1 — хn).

Иными словами, для данного начального условия х на интервале между 0 и 1 орбита х рассчитывается путем последовательного вычисления значений функции f(х) = kx (1 — х), где k — параметр, больший 1, но меньший 4. Поведение логистической системы, названной так потому, что она используется для моделирования динамики численности определенных популяций, удивительным образом зависит от значения k. Если k меньше некоторого критического значения, которое, по оценкам, составляет 3,569945…, то траектории будут иметь правильную форму. При превышении этого критического значения траектории будут стремиться к хаосу. Эта дискретная динамическая система четко показывает, что простые математические действия могут обладать неожиданно сложными свойствами.

Функция f(х) является функцией второй степени:

f(х) = kx (1 — х) = kx — kx2.

Иными словами, f(х) — нелинейная функция, и именно эта нелинейность делает возможным хаотическое поведение: в силу нелинейности небольшие отклонения начальных условий могут приводить к значительным изменениям.

Изучим динамику логистического отображения для значений k, меньших критического, к примеру для k = 2. Примем в качестве начального условия x0  = 0,8 и определим его орбиту с помощью калькулятора:

Теперь, когда мы знаем, как рассчитываются первые члены орбиты, вычислим

следующие члены напрямую: