Чтение онлайн

Лит.: Моденов П. С., Пархоменко А. С., Геометрические преобразования, М., 1961.

Геометри'ческий стиль в искусстве, одна из ранних стадий развития древнегреческого искусства (9—8 вв. до н. э.). Высокого мастерства в искусстве Г. с. достигла вазопись. Декор ваз Г. с., ясный и конструктивный, состоит из полос меандра, крестов, окружностей и т.д. В период развитого стиля (дипилонские вазы, 8 в. до н. э.) он включает также наивные, сильно геометризованные изображения человека. Сходный характер носят мелкая скульптура и рельефы на ювелирных украшениях.

Лит.: Matz Fr., Geschichte der grierhischen Kunst, Bd 1. Die geometrische und die fr"uharchaische Form. Textband, Fr./M., [1950].

Геометрический стиль. Скифос из Камироса (о. Родос). Ок. 700 до н. э. Британский музей. Лондон.

«Воин». Бронзовая статуэтка. 2-я пол. 8 в. до н. э. Национальный археологический музей. Афины.

Геометрический стиль. Щит из Черветери (Италия). Бронза. 7 в. до н. э. Ватиканские музеи.

Геометрический стиль. Кратер с о. Кипр. 2-я четв. 8 в. до н. э. Метрополитен-музей. Нью-Йорк.

Геометри'ческое сре'днее, число а*, равное корню n-й степени из произведения n данных положительных чисел (a1, a2, …, an):

Г. с. двух чисел а и b, равное

Геоме'трия (греч. geometria, от ge — Земля и metreo — мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

Происхождение термина «Г.", что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития р. Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков Г. означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, Г. развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п.

Первоначальные понятия Г. возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри» и т.п. Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

Путём такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех других свойств. При этом Г., как свойственно математике вообще, совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено, например, в определениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.

Г. в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением Г. как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в Г., и есть пространственная форма; поэтому в Г. говорят, например, «шар», а не «тело шарообразной формы»; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в Г., также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, более общем смысле, Г. объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к Г. определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе Г. в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Г. в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными. См. разделы Обобщение предмета геометрии и Современная геометрия.

Развитие геометрии. В развитии Г. можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Г.

Первый — период зарождения Г. как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Г., дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Г., по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.

Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Г. превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Г. Известны упоминания систематические изложения Г., среди которых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Здесь Г. представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией; это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Г., развиваемую на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащенную как в предмете, так и в методах исследования, называется евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и Г. на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии Г., однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Г. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в Г. метод координат. Метод координат позволил связать Г. с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Г. породило аналитическую Г., а потом и дифференциальную. Г. перешла на качественно новую ступень по сравнению с Г. древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития Г. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Г. Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Г.» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Г. были даны в 18 — начале 19 вв. Эйлером для аналитической Г. (1748), Монжем для дифференциальной Г. (1795), Ж. Понселе для проективной Г. (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Г. оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.