Чтение онлайн

О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространствомосновных функций j(x). Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

(f, j) = `of (x)j(x) dx. (1)

Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’, задаваемый равенством

(fc, j) = - (f, jc). (2)

При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над О. ф., например свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры. 1) d-функция Дирака:

(d, j) = j(0),

описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.

2) q (x) — функция Хевисайда: q(x) = 0, х lb 0, q(x) = 1, x > 0, q' = d;

производная от неё равна единичному импульсу.

3) —d' — плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х.

4) mds — плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью m:

5)

6) Свёртка

— ньютонов потенциал с плотностью f, где f — любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].

7) Общее решение уравнения колебаний струны

задаётся формулой

u (х, t) = f (x + at) + g (x– at),

где f и g — любые О. ф.

Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.—Л., 1932; Soboleff S., M'ethode nouvelle 'a resoudre le probl'eme de Cauchy pour les 'equations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Th'eorie des distributions, t. 1—2, P., 1950—51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.

В. С. Владимиров.

Обобществле'ние средств произво'дства в переходный период от капитализма к социализму, революционное преобразование частнокапиталистической собственности на средства производства в социалистическую общественную собственность и организация на этой основе нового типа общественного производства, планомерно обеспечивающего всё более полное благосостояние и свободное всестороннее развитие всех членов общества. Объективные предпосылки О. с. п. возникают в недрах капиталистического общества вследствие усиления общественного характера крупного машинного производства, что выражается в повышающейся степени концентрации и централизации производства, углублении общественного разделения труда, расширении связей между различными отраслями и видами производства внутри каждой страны, в образовании и развитии мирового хозяйства. Наибольшей степени этот процесс достигает в результате перерастания монополистического капитализма в государственно-монополистический, когда складывается механизм общественного счетоводства, тесно связанный с концентрацией банков и сращиванием их с промышленными монополиями. Противоречие между общественным характером производства и частнокапиталистической формой присвоения продуктов труда разрешается в ходе социалистической революции путём социалистической национализации. Социалистическое государство не только юридически провозглашает О. с. п., но и осуществляет его реально. В. И. Ленин указывал, что главная трудность строительства нового общества в экономической области «...обобществить производство на деле», что предполагает налаживание «...чрезвычайно сложной и тонкой сети новых организационных отношений, охватывающих планомерное производство и распределение продуктов, необходимых для существования десятков миллионов людей» (Ленин В. И., Полное собрание сочинений, 5 издание, т. 36. с. 171). Выполнение этой задачи означает согласованное в масштабе общества хозяйствование трудящихся на основе совместного использования общественных средств производства, общественного учёта и контроля, планомерного регулирования всего народного хозяйства. В период социалистического строительства происходит О. с. п. также мелких производителей путём социалистического преобразования мелкотоварного хозяйства крестьян и ремесленников и создания социалистических производственных кооперативов (см. Социалистическое преобразование сельского хозяйства).

Обобществле'ние труда', превращение процесса труда из индивидуального в общественный в связи с развитием разделения труда и заменой средств производства, требующих индивидуального труда, средствами производства, требующими коллективной деятельности.

Развитие производительных сил первобытной общины привело к индивидуализации труда, к разложению совместного труда, основанного на примитивной технике. Это проявлялось в возникновении индивидуальных хозяйств крестьян и ремесленников. Особое распространение индивидуальный труд получил в период разложения феодализма. Развитие техники, товарного производства и углубление разделения труда привели к появлению более совершенных средств производства, потребовавших совместного труда многих людей. Поскольку этот процесс протекал в условиях господства частной собственности, то О. т. происходило в капиталистической форме. Взамен самостоятельных хозяйств крестьян и ремесленников возникла капиталистическая мануфактура, а впоследствии капиталистическая фабрика. О. т. проявлялось в создании всё более крупных предприятий, в развитии специализации, кооперирования и комбинирования. О. т. вышло за рамки отдельной фабрики, привело к образованию различных форм объединения фабрик, к установлению всё более глубоких и всесторонних связей между фабриками и объединениями. Наконец, всё общественное производство превратилось в организм, в котором все его звенья оказались связанными друг с другом не только территориальным разделением труда, а разделением труда в самом процессе производства, носящем технологический или подетальный характер. Если в рамках отдельной фабрики нельзя определить, какой рабочий произвёл данный продукт: это результат труда всего коллектива, то в результате дальнейшего О. т. нельзя определить, какая фабрика произвела тот или иной продукт: он стал результатом деятельности десятков и сотен отдельных фабрик, органически связанных друг с другом процессом производства. О. т. привело к возникновению мирового хозяйства (см. Капиталистическая система мирового хозяйства) и мирового рынка.

На известном этапе развития общества прогрессивная роль капитализма проявилась в О. т., в повышении его производительности. Но при капитализме О. т. связано с развитием антагонистических противоречий между общественным характером труда и частным присвоением его результатов, между капиталом и наёмным трудом, разорением мелких производителей, эксплуатацией капиталом экономически слаборазвитых стран и народов. В рамках капитализма из-за господства частной собственности О. т. не может быть развито настолько, чтобы оно охватило все отрасли, сферы общественной жизни и все страны. Одна из задач периода перехода от капитализма к социализму состоит в том, чтобы усилить О. т. до высокого уровня во всех областях и отраслях народного хозяйства, заменить индивидуальный, частный труд мелких производителей трудом, обобществленным в социалистической форме, путём кооперирования индивидуальных хозяйств крестьян и ремесленников.

В условиях развитого социализма процесс О. т. продолжается на основе развития производительных сил и строительства материально-технической базы коммунизма. В результате О. т. всё народное хозяйство одной страны, а впоследствии всех социалистических стран превратится в единый производственный комплекс, характеризующийся высоким уровнем развития промышленности и сельского хозяйства, а также всех районов.

Возможность развития процесса О. т. не в капиталистической форме возникла и в развивающихся странах путём строительства крупных государственных предприятий и создания производственных кооперативов с помощью стран победившего социализма.