Чтение онлайн

С. Л. Вишневецкий.

Ниже более строго излагаются логические основы П. т. Предположим, что для описания изучаемых явлений употребляются r основных независимых единиц измерения A1 , А2 ,. .., Ar (например, в абсолютных системах единиц основными являются единицы длины L, массы М и времени T ). Производные единицы измерения имеют вид:

. Их размерность  характеризуется числовыми показателями p1 , p2 ,.. ., pr . Каждая величина Х размерности [Х ] = [Q ] представляется в виде: X = xQ, где х — числовое выражение величины Х при выбранной системе основных величин A1 , А2 ,. .., Ar .

Пусть изучается класс явлений S , каждое из которых определяется заданием определённых значений системы величин {Ya }. Два таких явления S (1 ) и S (2) называются подобными, если значения величин Ya(2) , характеризующие явление S (2) получаются из значений соответствующих величин Ya(1), характеризующих явление S (1) по формулам:

,

где коэффициент подобия k1 , k2 , ..., kr постоянны, а показатели p1 , p2 ,.. ., pr определяются размерностью.

величин Ya .

Предположим, что из системы величин {Ya } выделена некоторая часть, образующая систему {Хb } определяющих параметров, так что числовое значение yz любой величины Ya является функцией Ya= fa {xb } числовых значений xb величин Xb и вид функциональных зависимостей fa остаётся одним и тем же при любом выборе основных единиц измерения A1 , A2 ,..., Ar . В этом предположении основной принцип П. т. может быть сформулирован следующим образом. Для подобия явлений S (1 ) и S (2) необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации

, (1)

определяющих параметров в явлениях S (1) и S (2) были равны: k (1 ) = k (2 ).

Каждое безразмерное выражение k вида (1) называется критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все отношения вида:

, (2)

где

 и  — определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k (1 ) = k (2 ) в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (2) очевидна непосредственно. Их можно называть тривиальными. Сами отношения k вида (2) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия k (1 ) = k (2 ) считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k (1 ) = k (2 ) имеется только s = n — r' независимых, где n — число различных размерностей величин системы {Хb }, а r' — число независимых размерностей среди этих n размерностей. Т. к. всегда r' lb r, то s < n — r.

Например, геометрическая картина стационарного обтекания прямоугольной пластинки, помещенной в однородный неограниченный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, параллельной продольной стороне пластинки, определяется: 1) длиной пластинки l, 2) её шириной b, 3) скоростью потока на бесконечности u, 4) кинематический коэффициент вязкости n. Т. к. [b ] = [l ], [n] = [ul ], то среди трёх размерностей определяющих параметров имеются лишь две независимые, т. е. r' = 2 и s = n — r' = 3 — 2 = 1. В соответствии с этим имеется один нетривиальный критерий подобия — число Рейнольдса Re = ul/ n. Кроме того, имеется один тривиальный критерий подобия b/l. Если исследуемые явления изучаются при помощи дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются: 1) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, 2) в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются лишь безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Например, уравнения стационарного движения несжимаемой вязкой жидкости

, , i = 1, 2, 3

(р — давление жидкости, ui — компоненты скорости, xi — декартовы координаты) приводятся к безразмерному виду преобразованием

xi = xi l, ui = hi u, p = xru2

В новых переменных xi , hi , x уравнения имеют вид:

,

, i = 1, 2, 3.

А. Н. Колмогоров.

Практические применения П. т. весьма обширны. Она даёт возможность предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров сложных физических явлений. П. т. является основой для правильной постановки и обработки результатов экспериментов, В сочетании с дополнительными соображениями, полученными из эксперимента или из уравнений, описывающих физическое явление, П. т. приводит к новым существенным результатам.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 7 изд., М., 1972; Эйгенсон Л. С., Моделирование. М., 1952; Веников В. А., Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики, М., 1966; Кирпичев М. В.. Теория подобия, М'.. 1953; Дьяконов Г. К., Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов, М. — Л., 1956.

Подо'бные ма'трицы, квадратные матрицы А и В порядка n, связанные соотношением В = Р– 1 АР, где Р — какая-либо неособенная (т. е. имеющая обратную) матрица того же порядка. При задании матрицей линейного преобразования в разных координатных системах получаются П. м.; при этом роль матрицы Р выполняет матрица перехода от одной системы к другой. Часто бывает важно выбрать для данной матрицы А подобную ей и имеющую возможно более простой вид матрицу В [см., например, Нормальная (жорданова) форма матриц ]. П. м. имеют одинаковые ранги; характеристические многочлены |lЕ — А | и |lЕ — В |, а следовательно, определители |A | и |B | и характеристические числа П. м. А и В совпадают.

Подо'бные чле'ны многочлена, входящие в состав многочлена одночлены, отличающиеся только коэффициентами или знаками (или ничем не отличающиеся); например, в многочлене 2а + 5a3 b + 3ab2– 3a3 b подобными являются члены 5a3 b и -3а3 b. П. ч. могут быть заменены одним членом, равным их алгебраической сумме (приведение П. ч.). См. Многочлен .

По'добои, представители умеренного течения в гуситском революционном движении 15 в. в Чехии. См. Чашники .

Подозёрский, посёлок городского типа в Комсомольском районе Ивановской области РСФСР. Расположен в 25 км к С. от ж.-д. станции Комсомольск (конечный пункт ж.-д. ветки от г. Иванове). Добыча фрезерного торфа.