Большая Советская Энциклопедия (РА)
Шрифт:
Из общих принципов квантовой теории (микропричинности условия,релятивистской инвариантности и др.) следует, что матричные элементы S– матрицы являются аналитическими функциямив некоторых областях комплексных переменных. Аналитические свойства матричных элементов S– матрицы позволяют получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами — т. н. дисперсионные соотношения (см. Сильные взаимодействия),Померанчука теоремуи др.
В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц асимптотика волновой функции Y(r), являющейся решением Шрёдингера уравнения, имеет вид:
Здесь r — расстояние между частицами, k = p/
Для амплитуды рассеяния имеет место следующее разложение по парциальным волнам (волнам с определённым орбитальным моментом l):
Здесь Pl (cosJ) — Лежандра многочлен, Sl — коэффициенты разложения, которые зависят от характера взаимодействия и являются матричными элементами S– матрицы (в представлении, в котором она диагональна по энергии, моменту количества движения и проекции момента). Если число падающих на центр частиц с моментом l равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (случай упругого рассеяния), то ISll = 1. В общем случае lSll lb 1. Эти условия являются следствием условия унитарности S– матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то Sl может быть представлено в виде: Sl = e2idl, где dl — вещественные величины, называемые фазами рассеяния. Если dl = 0 при некотором l, то рассеяние в состояние с орбитальным моментом l отсутствует.
Полное сечение упругого рассеяния равно:
где
при этом dl = p/2 (резонанс в рассеянии). Т. о., при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны
Поведение сечения рассеяния вблизи резонанса определяется формулой Брейта — Вигнера:
где E — энергия, при которой сечение достигает максимума (положение резонанса), а Г— ширина резонанса. При Е = E0 ± 1/2G сечение sl равно 1/2
Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов:
Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с l lb b/k, где b — радиус действия сил. Это условие можно переписать следующим образом: l/k lb b; величина l/k определяет минимальное расстояние, на которое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом l (прицельный параметр в квантовой теории). При bk << 1 (малые энергии) следует учитывать только S– волну (парциальную волну с l = 0). Амплитуда рассеяния в этом случае равна:
и сечение рассеяния не зависит от угла (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях имеет место разложение:
Параметры а и r называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Эти величины определяются из опыта и являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при k = 0. Полное сечение рассеяния в точке k = 0 равно s = 4pa2.
Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то рассеяние таких частиц при kb << 1 носит резонансный характер (типичный пример — рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином J = 1; в этом состоянии у системы нейтрон — протон имеется уровень, соответствующий связанному состоянию — дейтрону). Сечение рассеяния в этом случае зависит только от энергии связи.
Если параметр kb невелик, фазы рассеяния могут быть найдены из измеренных на опыте значений сечения и др. величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные путём фазового анализа фазы рассеяния сравниваются с предсказаниями теории и позволяют, т. о., получить важную информацию о характере взаимодействия.
Один из основных приближённых методов теории рассеяния — теория возмущений (метод решения, основанный на разложении в ряд по малому параметру). Если падающая плоская волна, описывающая начальные частицы, слабо возмущается потенциалом взаимодействия, то применимо т. н. борновское приближение (первый член ряда теории возмущений). Амплитуда упругого рассеяния в борновском приближении равна:
где q = 2ksin (J/2), V (r) — потенциал взаимодействия, m = m1m2/(m1 + m2) — приведённая масса (m1 и m2 — массы частиц).