Таким образом, успех скрывающего информацию или атакующего определяется в конечном счете соотношением между скоростью передачи R и величинами искажения
и
контейнера, в котором скрывается информация. Рассмотренная теорема информационного скрытия при активном противодействии нарушителя очень напоминает фундаментальную теорему К. Шеннона, в которой определяется, что существует способ безошибочной передачи сообщений по каналу с помехами, если скорость передачи меньше пропускной способности канала, и невозможна достоверная передача со скоростью, большей пропускной способности. К. Шеннон также показал, что существуют зависимости между отношением мощности полезного сигнала к мощности помех в канале связи и величиной скорости безошибочной передачи сообщений по этому каналу. Аналогично этому, в информационно-скрывающем противоборстве существуют подобные зависимости между отношением величины искажения кодирования
к величине искажения
атакующего воздействия и величиной скорости безошибочной передачи скрываемых сообщений по стегоканалу.
Однако при внешнем сходстве у задач открытой и скрытой передачи есть существенные различия. Открытая связь осуществляется в условиях воздействия случайных помех канала связи, а передача скрываемой информации должна быть обеспечена при оптимизированном преднамеренном противодействии организованного нарушителя.
2. Рассмотрим связь задачи информационного скрытия с задачей защиты информации от перехватчика в подслушивающем канале. В 1975 году американский ученый А.Вайнер предложил метод защиты информации от чтения нарушителем, заложивший основу теории кодового зашумления [19,20]. Отправитель дискретных сообщений осуществляет их случайное избыточное кодирование на передаче и передает преобразованные сообщения получателя по основному каналу связи. Нарушитель наблюдает их в подслушивающем канале, который является отводом от основного канала. Случайное кодирование на передаче построено таким образом, что если в подслушивающем канале есть ошибки, то при декодировании они размножаются и надежно искажают защищаемую информацию. Метод кодового зашумления предназначен для систем передачи, в которых основной канал безошибочный. Например, основной канал образован на основе волоконно-оптической линии, а нарушитель пытается вести разведку по каналам побочного электромагнитного излучения и наводок, в которых в силу их природы имеется большое число ошибок. Отметим, что нарушитель знает описание системы кодового зашумления, которая не использует секретной ключевой информации (способ защиты некриптографический). Подслушивающий канал характеризуется секретной ПС, которая есть максимальная скорость безошибочной передачи по основному каналу при условии, что неопределенность для перехватчика максимальна (неопределенность защищаемых сообщений равна энтропии этих сообщений). Однако если подслушивающий канал менее шумный, чем основной канал, то секретная ПС равна нулю.
В задаче информационного скрытия атакующий способен на большее, чем обычный перехватчик в подслушивающем канале, так как он после перехвата защищаемого сообщения преднамеренно искажает основной канал. Поэтому основной канал передачи не менее шумный, чем подслушивающий канал. Следовательно, в задаче информационного скрытия с активным нарушителем секретная ПС равна нулю.
3. Выбор переменной U независимо от контейнера
, как это делается в системе водяного знака согласно рис. 3.2, является в общем случае не оптимальным. Анализ выражения (3.8) показывает, что скорости безошибочной передачи в этом случае ограничены сверху величиной
.
4. Пусть выполняется условие
≥
. Если атакующему известно описание контейнера
, то оптимальная атака состоит просто в формировании искаженного стего в виде
. В этом случае выходной сигнал после атакующего не содержит никаких следов сообщения и скрытая ПС равна нулю. На практике это означает следующее. Если нарушителю известен оригинал защищаемой от пиратского копирования мультимедийной информации, то никакие стегосистемы не защитят авторские и имущественные права производителей мультимедийной продукции.
Рассмотрим потенциально сильную атаку, в которой атакующий стремится сконструировать достаточно близкую к оригиналу оценку контейнера
. Если атакующий способен синтезировать искаженное стего Y такое, что
, то платеж ограничен сверху величиной
(3.12)
для всех U. Следовательно, величина скрытой ПС стегоканала
<
.
Таким образом, если нарушитель способен сформировать достаточно точную оценку контейнера (иными словами, выполняется неравенство
, где величина ε достаточно мала), то величина скрытой ПС ограничена этой малой величиной. А на практике это означает, что располагая подписанным водяным знаком стего, нарушитель может попытаться воспроизвести из него с некоторой допустимой погрешностью пустой контейнер, из которого удалено скрываемое сообщение. Такие примеры известны еще с доэлектронных времен стеганографии. Например, если перерисовать картину, заверенную художником малозаметными для визуального восприятия авторскими знаками, то хорошая копия может быть практически неотличима от оригинала (по крайней мере, для обычных зрителей), а авторские знаки, скорее всего, будут разрушены.
3.4. Двоичная стегосистема передачи скрываемых сообщений
Определим величину скрытой ПС стегосистемы, в которой алфавит скрываемых сообщений, контейнеров, ключей и стего является двоичным алфавитом
. Пусть контейнер
формируется источником Бернулли, то есть символы последовательности контейнера являются независимыми друг от друга и равновероятными. Функция искажения описывается расстоянием Хэмминга:
, если
и
в ином случае. Описание контейнера является секретным ключом стегосистемы (
) и известно декодеру. Пусть двоичная последовательность
формируется независимо и равновероятно. Стегограммы формируются в виде
, где операция
есть суммирование по модулю 2. Переменная Z имеет бернуллиевское распределение и отображает скрываемое сообщение M с искажением
. Искажение
означает, что каждый символ двоичной последовательности Z отличается от соответствующего символа двоичной последовательности M с вероятностью
. Преобразование сообщения M в последовательность Z выполняется скрывающим информацию с использованием кодера с искажением
. Нарушитель обрабатывает стего наложением на него двоичной шумовой последовательности
, в которой единичный символ порождается с вероятностью
. Получатель суммирует искаженное стего
с двоичной последовательностью
по модулю 2, и из полученной таким образом двоичной последовательности
декодирует принятое скрываемое сообщение
. Особенностью этой стегосистемы является то, что в ней скрываемое сообщение при встраивании искажается с вероятностью искажения
и это искажение равно искажению кодирования стего. Такая стегосистема показана на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Структурная схема двоичной стегосистемы
Утверждение 3.5: Для двоичной стегосистемы при величинах искажений
скрытая ПС определяется в виде
, (3.13)
где, по определению,
, и
.
Оптимальная атака нарушителя определяется в виде
, где
есть случайная двоичная последовательность, распределенная по бернуллиевскому закону с вероятностью появления единичного символа
. Для
и
скрытая ПС равна
. Для
и
, скрытая ПС равна
.
Опишем распределения переменных стегосистемы, при которых достигается такая величина скрытой пропускной способности. Для данной стегосистемы переменную U можно формировать как U = X или U = Z, причем оба варианта выбора могут быть оптимальны, так как в качестве операции встраивания используется операция суммирования по модулю 2.
Для
и
скрытая ПС равна
. Заметим, что на первый взгляд удивительно, что при
скрытая ПС не равна нулю независимо от значения
. Это объясняется тем, что при преобразовании скрываемого сообщения M в последовательность
искажение не является равновероятным: скрывающий информацию может выбрать такое распределение ошибок
, при котором минимизируется изменение сообщения M. Для
скрытая ПС равна нулю при любых значениях
. Нетрудно заметить, что при
выход
канала связи не зависит от его входа X, что означает обрыв канала связи. И если при обрыве канала связи не передается никакой информации по открытому каналу связи, то тем более не передается по скрытому каналу, образованному на основе открытого канала.
Применим следствие 3.4 для анализа двоичной стегосистемы. Мы должны проверить, что распределения для
и
имеют седловую точку платежа
. Сначала зафиксируем
. Полагая
, получим
где равенство (а) справедливо в соответствии с определением условной взаимной информации, (b) выполняется благодаря тому, что
есть марковская цепь, неравенство (с) справедливо, так как условие уменьшает энтропию. Равенство достигается в (с) если и только если
, следовательно,
независима от
. Неравенство (d) справедливо, так как Z и W независимы в силу того, что
формируют марковскую цепь и
. Равенство достигается, если переменная Z имеет бернуллиевское распределение с дисперсией
. Распределение
удовлетворяет обоим неравенствам с равенством и поэтому максимизирует значение