Чтение онлайн

Такие сочинения, как «Теория физики» П. Дюгема [Р. Duhem, La theorie phisique, son objet et sa structure, Paris 1906.] или «Понятия и теории современной физики» Сталло [J. B. Stallo, The Concepts and Theories of Modern Physics, Lond. 1882, Есть французский и немецкий переводы.], которые особенно рекомендует Мах, показывают чрезвычайно наглядно, что всего больше значения придают эти «физические» идеалисты именно доказательству относительности наших знаний, колеблясь, в сущности, между идеализмом и диалектическим материализмом. Оба автора, принадлежащие к различным эпохам и подходящие к вопросу с различных точек зрения (Дюгем — физик по специальности, 20 лет работавший в этой области; Сталло — бывший правоверный гегельянец, стыдящийся выпущенной им в 1848 г. натурфилософии в старогегелевском духе), воюют всего энергичнее с атомистически-механическим пониманием природы. Они доказывают ограниченность такого понимания, невозможность признать его пределом наших знаний, закостенелость многих понятий у писателей, держащихся этого понимания. И такой недостаток старого материализма несомненен; непонимание относительности всех научных теорий, незнание диалектики, преувеличение механической точки зрения, — за это упрекал прежних материалистов Энгельс. Но Энгельс сумел (в отличие от Сталло) выбросить гегелевский идеализм и понять гениально-истинное зерно гегелевской диалектики. Энгельс отказался от старого, метафизического материализма в пользу диалектического материализма, а не в пользу релятивизма, скатывающегося в субъективизм. «Механическая теория, — говорит, напр., Сталло, — вместе со всеми метафизическими теориями гипостазирует частные, идеальные и, может быть, чисто условные группы атрибутов или отдельные атрибуты и трактует их, как разные виды объективной реальности» (р. 150). Это верно, если вы не отрекаетесь от признания объективной реальности и воюете с метафизикой, как антидиалектикой. Сталло не дает себе ясного отчета в этом. Материалистической диалектики он не понял и поэтому часто катится через релятивизм к субъективизму и идеализму. (Ленин, Материализм и эмпириокритицизм, Соч., т. XIII, стр. 253 — 254, изд. 3-е.)

Единица. Ничто не кажется проще, чем количественная единица, и ничего нет многообразнее, чем последняя, лишь только мы начнем изучать ее в связи с соответственным множеством, с точки зрения различных способов происхождения ее из последнего. Единица — это, во-первых, основное число всей системы положительных и отрицательных чисел, благодаря последовательному прибавлению которого к самому себе возникают все другие числа. Единица есть выражение всех положительных, отрицательных и дробных степеней единицы: 

все равны единице. Единица есть значение всех дробей, у которых числитель и знаменатель равны. Она — выражение всякого числа, возведенного в степень нуль, и поэтому она единственное число, логарифм которого во всех системах один и тот же, именно = 0. Таким образом, единица есть граница, делящая на две части все возможные системы логарифмов: если основание больше единицы, то логарифмы всех чисел, больших единицы, положительны; всех чисел, меньших единицы, отрицательны; если основание меньше единицы, то дело происходит наоборот. Таким образом, если каждое число содержит в себе единство, поскольку оно состоит из одних лишь приданных друг к другу единиц, то единица, в свою очередь, содержит в себе все другие числа. Не только потенциально, поскольку мы можем построить любое число из одних единиц, но и реально, поскольку единица является определенной степенью любого другого числа. Но те же математики, которые непринужденнейшим образом вводят, где это им нужно, в свои выкладки x0 = 1 или же дробь, числитель и знаменатель которой равны и которая тоже, значит, представляет единицу, — математики, которые, следовательно, применяют математическим образом содержащееся в единстве множество, морщат нос и строят гримасы, когда им говорят общим образом, что единство и множество являются нераздельными, проникающими друг друга понятиями и что множество так же содержится в единстве, как и единство в множестве. Насколько это верно, легко заметить, лишь только мы покинем область чистых чисел. Уже при измерении длин, площадей и объемов обнаруживается, что мы можем принять за единицу любую величину соответствующего рода, то же самое относится к измерению времени, веса <теплоты>, движения и т. д. Для измерения клеток миллиметры и миллиграммы слишком велики, для измерения солнечных расстояний или скорости света километр крайне мал. Точно так же крайне мал килограмм для измерения масс планет, а тем более солнца. Здесь воочию видно, какое многообразие и множество содержится в столь простом на первый взгляд понятии единицы. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 117, 1932 г.)

Переход к диалектике. Два философских направления: метафизическое с неизменными категориями, диалектическое (Аристотель и в особенности Гегель) — с текучими; доказательства, что эти неизменные противоположности основания и следствия, причины и действия, тожества и различия, бытия и сущности не выдерживают критики, что анализ показывает наличие одного полюса уже in nuce [В зародыше. — Ред.] в другом, что в определенном пункте один полюс переходит в другой и что вся логика развивается лишь из движущихся вперед противоположностей. Это у самого Гегеля мистично, ибо категория является у него чем-то предсуществующим, а диалектика реального мира — ее простым отблеском. В действительности происходит наоборот: диалектика головы — только отражение форм движения реального мира, как природы, так и истории. Естествоиспытатели прошлого столетия, даже до 1830 г., довольно легко обходились еще при помощи старой метафизики, ибо действительная наука не выходила еще из рамок механики, земной и космической. Однако путаницу в умы внесла уже высшая математика, которая рассматривает вечные истины низшей математики как превзойденную точку зрения, утверждает часто вещи, противоположные им, и выставляет теоремы, кажущиеся, с точки зрения низшей математики, простой бессмыслицей. Здесь неизменные категории исчезли, математика вступила на такую почву, где даже столь простые понятия, как «абстрактное количество», «дурная бесконечность», приняли совершенно диалектический вид и заставили математику, против ее воли и без ее ведома, стать диалектической. Нет ничего комичнее, чем жалкие уловки, увертки и фикции, к которым прибегает математика, чтобы разрешить это противоречие, примирить между собою низшую и высшую математику; разъяснить им, что то, что является их бесспорным результатом, не представляет собой чистой бессмыслицы, и чтобы вообще рационально объяснить исходный пункт, метод и конечные результаты математики бесконечного. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 3 — 4, 1932 г.)

Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен вовсе содержания. Наоборот, нуль обладает весьма определенным содержанием. Будучи границей между всеми положительными и отрицательными величинами, будучи единственным, действительно нейтральным числом, которое не может быть ни + ни —, он представляет не только очень определенное число, но сам по себе важнее всех других ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет его. Для этого можно было взять вместо нуля любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль = 0. Таким образом, от природы самого нуля зависит то, что он находит такое приложение и что только он один может найти такое приложение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; в качестве делителя какого-нибудь числа он делает его бесконечным, в качестве делимого он делает его бесконечно малым; он — единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу.0 / 0 может выражать любое число между -

 и +  и представляет в каждом случае действительную величину. Реальное значение какого-нибудь уравнения обнаруживается лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение приравнено нулю, как это встречается уже в квадратных уравнениях и употребляется почти всегда в высшей алгебре. Можно какую-нибудь функцию f (x, y) приравнять z и потом дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и получить его частную производную.

Ничто от любого количества само еще количественно не определено, и лишь потому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые совершенно спокойно оперируют нулем, как выше указано, т. е. как вполне определенным количественным представлением, и ставят его в количественные отношения к другим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда находят у Гегеля такое общее положение: ничто от некоторого нечто есть определенное ничто.

Перейдем теперь к аналитической геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой одно направление по известной прямой считается положительным, а противоположное — отрицательным. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка с определенным положительным или отрицательным значением, но и гораздо важнее всех их: это точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом <в других случаях, где сама природа данной задачи ставит ограничения, все-таки остается выбор, по крайней мере, между двумя возможностями>. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление линии, на которую наносятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, — переходя к уравнению круга, — мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит приложение также и в механике, где при вычислении движений принятая нулевая точка является опорным пунктом всей операции. <Произвольно взятая> нулевая точка термометра, — это вполне определенная нижняя граница температурной области, разделяемой на произвольное число градусов и служащей благодаря этому мерой температур как внутри самой себя, так и высших или низших температур. Таким образом, и здесь она является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра не представляет вовсе чистого абстрактного отрицания, а очень определенное состояние материи, именно границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только в виде массы. Таким образом, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет собой нечто очень определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. показывает, что в качестве границы он важнее, чем все реальные, ограничиваемые им величины. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 115 — 117, 1932 г.)

Асимптоты. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое представляют абсолютные противоположности, что прямого нельзя совершенно выразить в кривом, кривого в прямом, что они несоизмеримы между собой. И однако уже круг можно вычислить лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асимптотами прямое совершенно растворяется в кривом и кривое в прямом; точно так же исчезает и представление о параллелизме: линии не параллельны, непрерывно приближаются друг к другу и все-таки никогда не пересекаются. Ветвь кривой становится все прямее, не делаясь никогда окончательно прямой. Точно так же в аналитической геометрии прямая линия рассматривается как кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы большим ни сделалось – x логарифмической кривой, y никогда не станет = 0. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Ньютонов параллелограмм сил в солнечной системе истинен, несомненно, для того момента, когда кольца отделяются, потому что вращательное движение приходит здесь в противоречие с самим собой, являясь, с одной стороны, в виде притяжения, а с другой — в виде тангенциальной силы. Но лишь только произошло это отделение, движение опять является доказательством диалектического процесса, — доказательством того, что это обособление должно произойти. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 33, 1932 г.)

Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:

.

Все переменные переходят где-нибудь через значение единицы, поэтому также и константа какой-нибудь переменной степени, ax = 1, когда x = 0. a0 = 1 означает попросту, что единицу надо взять в связи с другими членами ряда степеней a. Только в этом случае это имеет смысл и может дать полезные результаты

, в противном случае — нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тожественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не мнимое, обнаруживается во всех случаях, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как моментальная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Прямое и кривое. В дифференциальном исчислении они в конечном счете приравниваются друг к другу. В дифференциальном треугольнике, гипотенузой которого является дифференциал дуги (в методе касательных), эту гипотенузу можно рассматривать «как маленькую прямую линию, являющуюся одновременно элементом дуги и элементом касательной», независимо от того, рассматривают ли кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или также [Цитата приводится по-французски.] «как строгую кривую, ибо так как искривление в каждой точке М бесконечно мало, то последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства». Итак, хотя здесь отношение непрерывно приближается к отношению равенства, но приближается по природе кривой асимптотическим образом, так как соприкасание ограничивается не имеющей длины точкой, однако в конце концов принимается, что достигнуто равенство кривой и прямой. Bossut, Calcul diff. et. int. Paris, An VI, I, стр. 149. В случае полярных кривых дифференциально мнимая абсцисса рассматривается даже как параллельная реальной абсциссе, и на этой основе производят действие, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет угол как раз в точке пересечения обеих линий, на параллелизме которых основывается все подобие!..

Когда таким образом исчерпывается математика прямого и кривого, то открывается новое, почти безграничное поприще, т. е. математика, которая рассматривает кривое как прямое (дифференциальный треугольник), и математика, которая рассматривает прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О, метафизика! [Этот абзац написан позже на полях.] (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31 — 32, 1932 г.)

Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, являющимися элементами всей математики. И, однако, умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в известном случае — если делитель есть дробь — деление заменяется умножением на обратную дробь. В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (a-b) можно рассматривать как сложение (-b+a), каждое деление a / b как умножение a x 1 / b. При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде. Степень — в виде корня

, корень — в виде степени . Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя .