Чтение онлайн

Вот тут нас подстерегает неожиданная сложность в сфере, вроде бы очень отдаленной от веры, – в математике.

Теоремы Гёделя

Всякое рассуждение опирается на исходные предположения. Их в свою очередь требуется обосновать, и цепочка обоснований не может быть бесконечной. На каком-то этапе приходится выбрать исходные положения, принимаемые без доказательств.

Идея опоры на недоказанные предположения впервые отчетливо сформулирована древними греками. Поэтому их до сих пор во всем мире называют греческим словом “аксиома” – ценная, достойная. А следствия, логически выводимые из них, зовутся опять же греческим словом “теорема” — сказанная богом.

Выбор системы аксиом непрост. Если какие-то теоремы, выведенные из них, явно противоречат опыту, то приходится решать: то ли аксиомы неверны, то ли опыт интерпретирован неточно. Правда, можно развивать аксиоматику без проверки опытом – в надежде на то, что в какой-то новой сфере знаний для нее найдется приложение: так обычно действует чистая математика. Но опыт зачастую указывает нетривиальные направления работы – так развивается прикладная математика – и поэтому желательно сверяться с ним почаще.

Вдобавок какие-то аксиомы взаимозаменяемы: если выбрать одну из них, то другую можно доказать на ее основе. И надо решать, какой набор аксиом удобнее для доказывания. Евклид, в чьих трудах идея аксиоматики впервые проведена достаточно строго, одну из своих аксиом – постулат о параллельных прямых – сформулировал подчеркнуто неуклюже: похоже, он подозревал, что ее на самом деле можно доказать, и такой формулировкой нацелил на нее позднейших исследований. Правда, дело оказалось еще интереснее: как выяснилось уже в XIX веке, это действительно аксиома, и отказ от нее порождает другие геометрии, причем в рамках евклидовой аксиоматики можно построить модели этих геометрий – а значит, все они равно надежны.

Вопрос о надежности аксиоматики возникает и вне связи с опытом. Если в ней можно одновременно вывести и какое-то утверждение, и его отрицание, то такая противоречивая система явно бесполезна: уже доказанное можно сразу же опровергнуть. Если в системе можно построить утверждение, в ее же рамках недоказуемое, но и неопровержимое, то такая – неполная – система лишь ограниченно пригодна: для выяснения судьбы такого утверждения придется вводить в систему новые аксиомы.

Естественно, в числе целей математиков долгое время была проверка непротиворечивости системы аксиом, которой они пользовались. Желательна и полнота системы: не хочется каждый раз натыкаться, подобно Евклиду, на утверждения, с которыми заведомо невозможно справиться.

Доказательство непротиворечивости и полноты математической аксиоматики искали долго, упорно и весьма изобретательно. Но в 1931-м немецкий математик Курт Гёдель доказал две теоремы, радикально отличные от всех предшествовавших представлений об основаниях математики как логической структуры.

По первой теореме, любая теория, достаточно обширная, чтобы включать арифметику, либо неполна, либо противоречива. По второй теореме, если теория, включающая арифметику, непротиворечива, то ее средствами это недоказуемо.

Арифметика здесь весьма важна. И не только по техническим причинам: Гёдель построил конкретные примеры недоказуемых и неопровержимых утверждений, пользуясь именно арифметическими инструментами. Куда важнее содержательная сторона дела – связь с реальностью. Так, формальная логика не подчиняется теоремам Гёделя. Любое утверждение, сформулированное в ее рамках, можно ее же средствами однозначно доказать или столь же однозначно опровергнуть. В частности, утверждение об ее непротиворечивости строго доказано самой же логикой. Зато и средства логики столь бедны, что даже арифметические действия этими средствами невозможно определить – а значит, для описания реального мира формальная логика недостаточна.

Неполная наука

Наука, занимающаяся реальным миром, в целом неизмеримо богаче не только формальной логики, но и арифметики, и математики вообще. Значит, по Гёделю, она заведомо неполна. Впрочем, наука на полноту и не претендует.

К концу XIX века известный физик Филипп Жолли сказал одному из своих учеников, что занятия физикой бесперспективны: все основные законы уже постигнуты, так что будущим поколениям осталась лишь техническая возня с их приложением к конкретным обстоятельствам. Учеником – по иронии судьбы – был Макс Планк, вскоре доказавший квантовую природу излучения, с чего началась новая, продолжающаяся и по сей день физическая революция.

Такой опыт давно убедил ученых: эйфория по поводу новых всеобъемлющих теорий – преходящая. Рано или поздно наука выходит за пределы познанного, и приходится вводить новые представления – новые аксиомы.

Одним из первых это сформулировал еще древнегреческий философ и математик Эратосфен: чем больше сфера наших познаний, тем больше поверхность ее соприкосновения с неизвестным. Правда, употребленный Эратосфеном образ имеет и оптимистическую составляющую. Соотношение объема и поверхности сферы пропорционально ее радиусу. То есть по мере роста познаний нам все легче оставаться среди уже открытого и все реже приходится сталкиваться с непонятным. Наука способствует избавлению от повседневной неизвестности.

Конечно, наука не исчерпывается аксиомами. Можно сверять теоретические предположения с опытом и такой сверкой заменять теоретические доказательства. Именно таким путем установлено, например, что поверхность Земли описывается с помощью не евклидовой, а римановой геометрии – то есть она не плоская, а примерно сферическая. Сейчас астрономические наблюдения уточняют аксиоматику геометрии всей нашей Вселенной.

Но все же возможности эксперимента небезграничны. Да и его трактовки неоднозначны. Эйнштейн указывал: только теория определяет, что именно мы увидели в эксперименте и что из него поняли. Так что научное познание – не только эксперимент, но и создание на его основе новых аксиом и даже аксиоматических систем – скорее всего будет продолжаться бесконечно. Мир так же невозможно исчерпывающе постичь научными методами, как и религиозными.

Неполнота науки позволяет, по Гёделю, надеяться: наука в целом непротиворечива. Даже если ее конкретные ветви содержат противоречия, то противоречия эти диалектические, снимаемые дальнейшим ходом развития.

Дунс Скот против противоречий

Развитие некоторых отраслей науки уже вполне завершено. Например, вышеупомянутой формальной логики. Одно из ее достижений нам пригодится. Английский францисканский монах, богослов Иоанн Дунс Скот (1265 – 1308) сказал: из любого ложного утверждения можно строго логически вывести любое утверждение – как ложное, так и истинное. При этом совершенно не важно, связаны ли эти утверждения содержательно: по классическому примеру, если дважды два – пять, то существуют ведьмы. В рамках формальной логики закон Дунса Скота неоспорим.

Из первой теоремы Гёделя ясно: если какая-то система полна, она противоречива. Из закона Дунса Скота видно: если в системе выводима хотя бы одна пара противоречивых утверждений, то можно вывести и любое утверждение, сколь угодно бессмысленное. Таким образом, с практической точки зрения, противоречивая аксиоматика вполне равноценна заведомо ложному утверждению.

Первопричина

Теперь от математики вернемся к религии. Конечно, религия не сводится к аксиомам. Неоднократные богословские попытки полностью формализовать ее неизменно проваливались. Но все же некоторую – и порою довольно отчетливо сформулированную – аксиоматику религия в себя включает.