Чтение онлайн

(Недаром так недоумевают первоклассники, когда им говорят: «Обозначим слог прямоугольником, обозначим гласный звук красным кружочком, твердый согласный — черным кружочком, мягкий — синим кружочком; обозначим неизвестное число буквой х…». Это же так просто, так понятно — для нас с вами: обозначим — и все дела. А дети в тупике.)

Выразительный пример того, о чем говорилось в восьмой сноске («Как часто учебные и жизненные задачи кажутся простыми нам только по недомыслию!»)

Изобретаем письменность: рисунок — пиктограмма — иероглифї

На нашем кружке я всегда пытался не только решать отдельные задачи, но и формулировать, хотя бы для себя, сверхзадачи. Знакомство с семиотической идеей — одна из таких сверхзадач.

Мы не раз обсуждали то, что числа обозначаются цифрами, звуки речи буквами, а, скажем, музыкальные звуки — нотами. Вспомнили и другие системы знаков, например дорожные знаки. И всегда, когда было можно (и полезно), придумывали значки для разных объектов, с которыми оперировали. Так что эта идея для ребят уже не совсем новая.

Вот мальчики и предлагают «рисовать» решения. Поначалу они и в самом деле пытаются делать что-то вроде реалистических рисунков; я бы сказал: находятся на пиктографическом уровне. Но это трудно, и довольно скоро мы переходим на иероглифический уровень: рисунки становятся более абстрактными — теперь пустая коробка обозначается квадратом, а заполненная — квадратом с кружком внутри. Я предлагаю рисовать в последнем случае просто кружок. Очередное препятствие: дети не умеют рисовать аккуратно, и нарисованный ими круг не всегда легко отличить от квадрата. Тогда я делаю еще одно предложение: рисовать круг с крестом. Теперь изображенное выше решение выглядит так: (рисунок 9).

Рис. 9.

«А почему с крестом?» — «А какая разница, как обозначать», — отвечаю я, пытаясь равнодушным пожиманием плеч еще раз намекнуть на относительную самостоятельность знака по отношению к обозначаемому объекту и его (в известных пределах) произвольность.

Минута педагогического триумфа: дети приходят к общематематической идее!

А между тем получившаяся задача в одном отношении сложнее предыдущих. Ведь теперь каждое новое решение нужно сравнивать не с предшествующими решениями, а с их условными обозначениями.

Педагогический успех — награда тому, кто постоянно внимателен и чуток к ребенку. Не знаю, что помогает А.Звонкину так тонко проникать в детскую то ли прекрасная память и самоанализ, то ли способность к перевоплощению в ребенка, то ли интуиция, то ли знакомство с трудами психологов (каждый это делает по- своему). Но именно зоркость к детским интеллектуальным трудностям позволяет взрослому успешно строить радостное и взаимно развивающее общение с детьми.

На этот раз мальчики находят всего девять решений и после нескольких безуспешных попыток приходят к выводу, что больше решений нет.

И вот наступает минута моего триумфа, та, которую я так долго ждал и так упорно готовил. Петя вдруг восклицает, тыча пальцем в лист бумаги: «Ой, смотрите: да это же пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!» Дима вскакивает очень взволнованно: «Да, да, папа, я уже давно хотел тебе это сказать!» «Значит, должно быть еще одно решение», — подхватывает Женя.

— А давайте, — предлагает Дима, — принесем решение той задачи и найдем, чего не хватает.

Ходить, конечно, далеко не приходится. Подобно известному роялю в кустах, конверт с решениями всех предыдущих задач оказался здесь же, на столе. Какую из задач принять за основу? Мальчики предлагают полоски бумаги с кружками, и очень скоро, уже на четвертом шаге, мы нашли недостающее десятое решение.

(Видимо, ни один триумф не обходится без небольшого конфуза. Когда мы раскладывали полосочки с бусами, одна из них случайно перевернулась на 180 градусов. В результате одно из решений пропало, а другое, ему симметричное, оказалось повторенным дважды. Мы едва не запутались.)

То, что произошло сегодня, кажется не крайне важным. Мы не просто решили задачу. Мы решили ее путем сведения к другой, изоморфной ей задаче. Это важнейшая общематематическая идея, и разве не чудо, что нашелся такой материал, на котором эту идею удалось продемонстрировать шестилеткам? Да к тому же так, что они сами до нее додумались!

События на нашем кружке меняются с головокружительной быстротой. Не успели мы разделаться с одной великой идеей, как тут же на подходе другая. Как-то сам собой возникает вопрос: почему каждый раз получается ровно десять решений?

В самом деле больше решений не существует или мы их просто не сумели найти? Как доказать, что их всего десять?

Доказательство — это ритуал, принятый в математике?

Итак, доказательство. Центральное понятие для всей математики, я бы даже сказал, формообразующее, выделяющее математику из всех других наук. Представление о том, что является доказательством и что не является, менялось на протяжении веков и обрело современный вид лишь приблизительно на рубеже XX века (увлекательный рассказ об этом можно прочитать в недавно вышедшей книге Мориса Клайна «Математика. Утрата определенности»).

Математикам прошлых эпох, даже самым великим, казались вполне убедительными такие рассуждения, которые сейчас с негодованием отвергнет любой школьный учитель. Если вдуматься, мы имеем дело с очень странным явлением: почему какие-то абстрактные рассуждения делают для нас то или иное утверждение более убедительным?

Один очень умный старшеклассник задал учителю такой вопрос: «То, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, совершенно очевидно, можно убедиться на примерах. Тем не менее нам этот факт доказывают. С другой стороны, то, что напряжение равно силе тока, умноженной на сопротивление, нисколько не очевидно. Однако этот факт нам почему-то не доказывают, а только иллюстрируют опытами. Почему?»

Этот вопрос — редкая попытка проникнуть в суть явлений. Большинство же школьников, я убежден, воспринимают доказательства как некий принятый в математике ритуал. Так полагается, и все. Как тут не вспомнить историю, относящуюся, кажется, к XVIII веку — про человека, который сказал своему учителю: «К чему все эти туманные рассуждения? Вы же дворянин, и я тоже. Дайте честное слово, что теорема верна, — мне этого вполне достаточно».

Смешно, правда? Ну а мы сами — образованные, современные люди, даже научные работники — мы разве не такие?

Где искать точки соприкосновения научной проблемы с миром детства?

Встречали ли вы когда-нибудь в учебниках истории доказательства того, что все описываемые события происходили именно там, именно тогда и именно так, как они описаны (да и вообще имели место)? Нет, никаких даже намеков на доказательства в этих учебниках нет. И вот странное дело — это никак не уменьшает нашего доверия к изложенным фактам. «Честное слово дворянина» — в данном случае автора учебника — оказывается для нас вполне убедительным основанием. Как видим, проблема не так проста, даже если касается взрослых.