Чтение онлайн

В конце VIII в. «Арьябхатия» была переведена на арабский язык под названием «Зидж аль-Арджабхар»; на этот перевод неоднократно ссылался Бируни. Через арабских ученых отдельные идеи Арьябхаты стали достоянием европейских математиков. Астрономические и математические проблемы получили дальнейшее развитие в сочинениях Брахмагупты (родился в 598 в Бхилламале — ныне Бхинмал в Раджастхане). Его перу принадлежат «Брахмаспхута-сиддаханта»(628 г.) и «Кхандакхадьяка» (665 г.). В этих трактатах наряду с математическими главами имеются и большие астрономические разделы, в которых рассматриваются вопросы о форме неба и земли, об определении времени, о затмениях Луны и Солнца, о соединении и противостоянии светил, о лунных стоянках, о среднем и правильном положении планет, о сфере, об инструментах и т. д.

Выдающимся достижением индийской науки было создание десятичной системы счисления, которой ныне пользуются во всем цивилизованном мире. Еще в древнейшие времена это отразилось в названиях числительных, при образовании которых применялись принципы сложения и вычитания: 19 можно было назвать и навадаша (девять-десять) и эвауна-вимшати (без одного двадцать). Для первых нумераций использовались цифры письменности кхарошти (записывались справа налево), а начиная с III в. до н. э. стали употребляться цифры письменности брахми (слева направо). В обеих нумерациях было немало общего: для обозначения чисел до сотни применялся принцип сложения, а для больших чисел он сочетался с принципом умножения. Особенностью системы брахми, ставшей основой создания современной нумерации, было наличие специальных знаков для первых девяти цифр.

Одновременно в Индии широко применялась словесная система обозначения чисел; этому способствовал богатый по своему словарному запасу санскрит, имеющий много синонимов. Нуль, например, назывался словами «пустое», «небо», «дыра»; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы» и т. д. В текстах III–IV вв. число 1021 передавалось как «луна — дыра — крылья — луна».

Производить арифметические действия по такой системе было затруднительно, и она служила лишь для записи больших чисел в математических и астрономических сочинениях. Излишняя громоздкость ее потребовала замены, и Арьябхата стал использовать алфавит, предложив записывать цифры санскритскими буквами. В целях окончательного оформления системы счисления необходимо было ввести знак нуля для обозначения отсутствующего разряда.

Одно из самых ранних зарубежных сообщений об индийской десятичной системе относится к VII в. Сирийский епископ Север Себох отмечал: «Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков».

Современная арифметика, несомненно, индийского происхождения. От созданной индийцами системы обозначения чисел происходит наша нумерация. Они первыми разработали условия арифметических действий, основанные на этой системе нумерации. В сочинениях V в. встречаются многочисленные задачи на простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило смешения, проценты.

Тройное правило (трай-рашика — букв. «три места») заключалось в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами — а, Ь, с — пропорцию. Его знали уже египтяне и греки, но индийцы выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применить его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. Брахмагупта и позднейшие авторы добавили обратное тройное правило и правило 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и далее в Европу. Ряд задач имел непосредственно практическое значение. Искусство математиков ценилось высоко. По словам Брахмагупты, «как Солнце затмевает своим блеском звезды, так и ученый может затмить славу других в общественном собрании, предлагая и тем более решая математические задачи».

В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для многих неизвестных величин, свободного члена уравнения, степеней. Символами служил первый слог или буква соответствующего санскритского слова. Неизвестную величину называли яват-тават (столько-сколько), обозначая слогом «я (йа)». Если неизвестных было несколько, то их называли словами, выражающими различные цвета: колика (черный), нилака (голубой), питака (желтый), панду (белый), лохита (красный), — и обозначали слогами — ка, ни, пи, па, ло. Иногда неизвестное заменялось знаком нуля, поскольку первоначально в таблицах пропорциональных величин для него оставлялась пустая клетка.

Тот же принцип использовали и применительно к арифметическим действиям. Сложение обозначалось знаком ю (юта — сложенный), умножение — гу (гунита — умноженный), деление — бха (бхага — деленный), вычитание — точкой над вычитаемым или знаком + справа от него (например, «отнять 3» записывалось так: 3 или 3+).

Начиная с Брахмагупты, индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительное число как некое имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта описывал все правила действия с отрицательными числами, хотя ему не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Впрочем, математик IX в. Махавира писал: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными». Это показывает, что Махавира уже ставил вопрос об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что данная операция невозможна.

Задачи, приводящие к решению линейного уравнения с одним неизвестным, даны у Арьябхаты. Одна из них, получившая название «задача о курьерах», вошла в дальнейшем в мировую алгебраическую литературу. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил, расстояние между которыми а, скорость же равна V1 и V2 соответственно. Арьябхата предлагал решение, в современной математике выражающееся формулой: t = a / V1 — V2 при движении в одну сторону. При движении навстречу расстояние необходимо разделить на сумму скоростей.

У Махавиры и других ученых встречаются задачи, приводящие к системам линейных уравнений с несколькими неизвестными. Были выработаны специальные правила решения таких систем. Разумеется, что речь шла о задачах с численными условиями, но правила формулировались в общем виде.

Задачи на квадратные уравнения зафиксированы уже в шульва-сутрах, но систематические их решения мы впервые находим у Арьябхаты. Такова, например, задача на сложные проценты, приводящая к квадратному уравнению: деньги р, отданные в рост, приносят за месяц неизвестную величину х, она отдается опять в рост на несколько месяцев t; первоначальный прирост вместе с вновь полученным составляет некую сумму q. Необходимо найти размер процента. Решение, по Арьябхате, можно выразить следующим уравнением: tx + px * ap.

Любопытно, что данная задача, как и «задача о курьерах», приводилась многими учеными не только в средние века, но и в новое время. С аналогичной задачи начинал раздел о квадратных уравнениях в своем учебнике по алгебре известный французский математик и механик А. Клеро (1746).

Значительных успехов достигли индийцы в решении неопределенных уравнений, к которым они прибегали в связи с календарно-астронимическими вычислениями, призванными определить периоды повторения одинаковых относительных положений небесных светил с различными временами обращения.

В отличие от древнегреческого математика Диофанта, предлагавшего только рациональные решения уравнений, индийцы нашли более сложный способ. Решение в целых числах неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными (ax + Ь = су) приводит уже Арьябхата, более подробно оно изложено потом Брахмагуптой. Этот способ решения получил в индийской науке название «рассеивания», или «размельчения».

Вершина открытия индийских математиков в теории чисел — решение в целых положительных числах общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными (ax 2+ b = y) и его важного частного случая (ах 2+ 1 = y), где а — целое, не являющееся квадратом целого числа. В Европе этими проблемами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, не предполагавшие, что индийцы за много столетий до них уже владели способом решения подобных уравнений.