Чтение онлайн

И он вдруг громко рассмеялся собственной шутке – слишком громко, подумалось мне. Потом наклонился ко мне и, понизив голос, спросил:

– Ты посмотрел теорему Гёделя о неполноте?

– Посмотрел, – ответил я, – но не понимаю, какое она имеет отношение к…

Он резко поднял руку, обрывая мою речь.

– «Wir mussen wissen, wir werden wissenf In der Mathematik gibt es kein ignorabimus», – произнес он отчетливо и так громко, что голос его эхом отразился от сосен и вернулся зловеще, как голос призрака. Предположение Сэмми о безумии мгновенно мелькнуло у меня в голове. Может быть, воспоминания усилили его болезнь? Может быть, дядя невменяем?

Мне стало легче, когда он добавил более нормальным голосом:

– «Мы должны знать, мы будем знать! В математике нет ignorabimus!» Так сказал великий Давид Гильберт на международном конгрессе в 1900 году. Объявление математики небесами Абсолютной Истины. Философия Евклида, философия Непротиворечивости и Полноты…

Дядя Петрос вернулся к своему рассказу.

Философией Евклида было преобразование случайного собрания наблюдений над числами и геометрическими фигурами в хорошо организованную систему, где, взяв за основу принятые априори элементарные истины, можно с помощью логических операций, шаг за шагом прийти к строгому доказательству всех истинных утверждений. Математика – как дерево с сильными корнями (Аксиомы), могучим стволом (Строгое Доказательство) и вечно растущей кроной, расцветающей чудесными цветами (Теоремы). Все математики следующих времен – геометры, алгебраисты, специалисты по теории чисел, и более поздние – аналитики, специалисты по алгебраической геометрии, теории групп и т.д., работники всех математических дисциплин, возникающих до сего дня (новые ветви все того же дерева) – никогда не отклонялись от курса великого пионера: Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы.

С горькой улыбкой Петрос вспомнил проповеди Харди насчет гипотез, обращенные ко всем (особенно к бедняге Рамануджану, который их рождал, как плодородная почва рождает траву): не приставать к нему с гипотезами. «Доказывайте! Доказывайте!» Харди любил говорить, что если бы для благородного рода математиков понадобился геральдический девиз, ничего нельзя было бы придумать лучше этого: «Quod Erat Demonstrandum» [20] .

В 1900 году на Втором международном конгрессе математиков в Париже Гильберт объявил, что настало время довести древнюю мечту до ее окончательных следствий. В настоящий момент у математиков есть язык формальной логики, которого не было у Евклида, и этот язык позволяет изучать строгим образом саму математику. Следовательно, святая троица Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы должна быть применена не только к числам, фигурам или алгебраическим сущностям различных математических теорий, но и к самим теориям. Математики могут наконец строго доказать то, что в течение двух тысячелетий было их главным кредо, не подвергаемым сомнению, центром всего взгляда на математику: а именно, что в математике любое истинное утверждение доказуемо.

Через несколько лет Рассел и Уайтхед выпустили свой монументальный труд «Principia Mathematica», впервые предложив абсолютно строгий способ рассуждений о дедукции: теорию доказательств. И хотя это новое средство много обещало в смысле окончательного ответа на вызов Гильберта, двум английским логикам не удалось фактически доказать критическое свойство. Полнота математических теорий (то есть тот факт, что в них любое истинное утверждение доказуемо) еще не была доказана, но уже ни у кого не оставалось ни малейших сомнений ни в уме, ни в сердце, что когда-нибудь – и очень скоро – такое доказательство появится. Математики продолжали верить, как верил Евклид, что обитают в Царстве Абсолютной Истины. Победный клич, произнесенный на Парижском конгрессе – «Мы должны знать, мы будем знать, в математике нет ignorabimus», – составлял предмет нерушимой веры любого работающего математика.

Я перебил это увлеченное историческое отступление:

– Дядя, я это все знаю. Раз ты заставил меня ознакомиться с теоремой Гёделя, то очевидно, что я знаю и её предысторию.

– Это не предыстория, – поправил меня дядя, – а психология. Ты должен понять тот эмоциональный климат, в котором работали математики в те счастливые дни до Курта Гёделя. Ты меня спросил, как я набрался духу продолжать работу после такого огромного разочарования. Так вот как это было…

Несмотря на то что дядя еще не смог достичь своей цели и решить проблему Гольдбаха, он твердо верил, что эта цель достижима. И вера его, как духовного внука Евклида, была абсолютна. Так как утверждение Проблемы почти наверняка верно (в этом никто всерьез не сомневался, если не считать Рамануджана с его неясным «предчувствием»), ее доказательство где-то существует в каком-то виде. Дядя пояснил примером:

– Представь себе, что твой друг куда-то засунул в доме ключ и просит тебя помочь его найти. Если ты веришь, что память его не подводит, и абсолютно доверяешь его честности, что это значит?

– Это значит, что он действительно потерял ключ где-то в доме.

– А если он тебя еще и заверяет, что больше никто в дом не входил?

– То мы можем предположить, что ключ не был вынесен из дома.

– Эрго [21] ?

– Эрго, ключ находится в доме, и после достаточно долгих поисков – в предположении, что дом конечен, – мы его рано или поздно найдем.

Дядя зааплодировал.

– Превосходно! Именно эта уверенность питала мой возрожденный оптимизм. Когда первое потрясение прошло, я однажды утром поднялся и сказал себе: «Какого черта – ведь доказательство же где-то есть!»

– И что?

– И то, мой мальчик, что если доказательство существует, то кому-то суждено его найти!

Это рассуждение до меня не дошло.

– Я не вижу, чем это тебя утешило, дядя Петрос. Из того факта, что доказательство существует, никак не следует, что именно тебе суждено его найти.

Он поглядел на меня так, словно я не заметил очевидного:

– А кто во всем мире был лучше подготовлен для этого, чем я, Петрос Папахристос?

Вопрос был явно риторический, и потому я не потрудился на него ответить. Но был озадачен. Тот Петрос Папахристос, о котором он говорил, был совсем не тем застенчивым и отстраненным пожилым садоводом, которого я знал с детства.

Конечно, потребовалось время, чтобы оправиться после письма Харди и сокрушительных новостей. Но дядя в конце концов оправился. Он собрался с духом, наполнил свои резервуары надежды верой в то, что «доказательство где-то существует», и возобновил поиск, но был уже немного другим человеком. Его неудачное приключение, обнажив в маниакальном стремлении элемент тщеславия, создало у него внутреннее ядро покоя, ощущение того, что жизнь продолжается независимо от проблемы Гольдбаха. Режим его работы стал слегка менее напряженным, и его уму помогали шахматные интерлюдии; разум стал более спокоен, несмотря на постоянную работу мысли.

Кроме того, переход к алгебраическому методу (он уже решил это в Инсбруке) принес ему ощущение радости от начатой заново работы, опьянение от входа в неисследованные земли.

После статьи Римана в середине девятнадцатого века в течение ста лет в теории чисел доминировала аналитическая тенденция. Возвращаясь теперь к древнему элементарному подходу, мой дядя шел в авангарде стратегического отступления, если мне будет позволен такой оксюморон. История математики запомнит его хотя бы за это, если больше будет не за что.

Здесь следует подчеркнуть, что в контексте теории чисел слово «элементарно» ни в коем случае не может считаться синонимом слова «просто» и уж тем более «легко». Методы элементарного подхода – это методы, которыми получены величайшие результаты Диофанта, Евклида, Ферма, Гаусса и Эйлера, и элементарны они лишь в том смысле, что выведены из элементов математики, основных арифметических операций и методов классической алгебры действительных чисел. Несмотря на эффективность аналитического подхода, элементарные методы стоят ближе к фундаментальным свойствам целых чисел, и полученные с их помощью результаты для математика интуитивно яснее и глубже.

Из Кембриджа пошли слухи, что Петросу Папахристосу из Мюнхенского университета не повезло, когда он задержал публикацию важных результатов. Коллеги по теории чисел стали интересоваться его мнением. Его начали приглашать на семинары, которые он с той поры стал непременно посещать, разнообразя поездками свою монотонную жизнь. Просочились также новости (это уже спасибо декану факультета), что он работает над известной своей трудностью проблемой Гольдбаха, и это заставляло коллег смотреть на него со смешанным чувством уважения и сочувствия.