Чтение онлайн

Два значит один плюс один. Пять с предшествующим простым узлом означает четыре; пять., с последующим узлом означает шесть. Эта система обозначения низшего количества через вычитание единицы из высшего указывает на арифметическую ориентировку примитивного человека на закругленные и законченные естественные группы (пальцы руки и т. п.).

Замечательный случай рассказывает один исследователь о счете примитивного человека. Этот случай проливает свет на развитие числовых систем. Примитив считает сначала на пальцах одной руки, приговаривая: «Это — один» и т. д.; при последнем пальце он прибавляет: «Одна рука». Затем он считает пальцы другой руки таким же точно образом, затем пальцы ног. Если счет при этом не закончен, то при дальнейшем счете «одна рука» считается как единица высшего разряда. Теперь уже, считая на пальцах рук и ног, он считает пятками, т. е. целые руки.

Эту операцию психологи вызывают чисто экспериментальным путем. Представим себе, что какой-нибудь группе культурных людей мы предложим пересчитать 27 предметов, предупредив их при этом, что они, как некоторые примитивные народы, не умеют считать больше чем до пяти. Как показывают наши опыты, часть группы не решает задачу вовсе; часть решает ее, не выполнивши условия; наконец, третья часть решает ее совершенно правильно и совершенно одинаковым образом.

Они пересчитывают предметы, повторяя все время ряд от единицы до пяти, затем начинают считать пятки и выражают итог следующим образом: пять пятков и два. Исследования показывают, что и наш счет по десятичной системе основан именно на таком приеме. Это всегда как бы счет в две пяти: мы считаем сами предметы и затем считаем свой счет, т. е. группы этих предметов. Так, например, когда я считаю 21, 22, 23… затем 31, 32, 33, то я фактически считаю предметы только при помощи 1, 2, 3, слова же «двадцать» и «тридцать», прибавляемые всякий раз, показывают мне, что мой счет идет в пределах второго и третьего десятков.

Экспериментальные исследования привели к чрезвычайно интересному выводу, показывающему, что наша счетная система считает за нас. То раздвоение внимания, которое должен осуществить примитив, считая раньше единицы предметов на пальцах руки, а потом количество рук на тех же самых пальцах, — это самое за нас проделывает десятичная система. Поэтому, говорят психологи, когда мы считаем, с психологической точки зрения мы не считаем вовсе, а припоминаем. Мы автоматически пользуемся нашей числовой системой, мы воспроизводим в порядке числовой ряд и, достигнув определенного пункта, узнаем готовый результат. То, что мы видим у взрослого культурного человека в скрытой, автоматизированной и уже развитой форме, существует у примитивного человека еще в явной форме и в состоянии развития.

Любопытно отметить, что при помощи таких специфических вспомогательных средств происходит не только простой счет, но и довольно сложные арифметические операции. Вертгеймер сообщает о замечательном способе счисления, который был найден у курдов на русско- персидской границе. Не владея еще абстрактной операцией счета, курды умножают следующим образом. Числа от 6 до 10 изображаются пригибанием одного, двух, трех, пяти пальцев (подразумевается: плюс пять). Умножение от 5 × 5 до 10 × 10 производится так, что согнутые пальцы складываются как десятки, а вытянутые умножаются как единицы.

Например, нужно умножить 7 × 8. На одной руке загнуто два пальца (2 + 5 = 7); на другой — три (3 + 5 = 8). Приложить одну руку к другой, сложить загнутые пальцы (2 + 3 = 5), умножить вытянутые — шесть единиц (2 × 3 = 6). Результат — 56.

Леруа указывает на то, что и у культурных народов встречаются числовые множества или нумерические образы (век, год, неделя, месяц, эскадрон — все это нумерические образы). «Чем, — спрашивает он, — слово фиджи „кого“, означающее „сто кокосовых орехов“, более примитивно, чем слово „век“, означающее „сто лет“?» У нас 10 солдат, идущих отдельно, — это 10 человек, а с капралом в строю — взвод: в этом примере Леруа видит аналогию с тем, что в примитивных языках число «описывает специальные обстоятельства» счета.

Основной вывод этого автора является, на наш взгляд, бесспорным: нельзя сравнивать счисление примитивов со «счислением» животных, т. е. нельзя сводить к непосредственному восприятию количеств всю примитивную арифметику. Самое характерное для этой арифметики заключается в том, что это «эмбриональное счисление, для того чтобы перейти за определенные границы, должно всякий раз прибегать к помощи конкретной мнемотехники» (употребление пальцев, палочек). Соединение натуральной арифметики (непосредственное восприятие количеств) с мнемотехнической составляет самую характерную черту примитивного счисления. Леруа справедливо сравнивает эту арифметику со счетом у неграмотных и с пользованием наглядными числами (диаграммы) у нас.

Дальнейшее развитие «культурной математики» теснейшим образом связано с эволюцией знаков и способов их употребления. Это приложимо не только к низшим, но и к самым высшим ступеням развития научной математики. Ньютон, объясняя сущность алгебраического метода, говорил, что для решения вопросов, относящихся к числам или отвлеченным отношениям величин, требуется только перевести задачу с английского или другого языка, на котором она предложена, на язык алгебраический, способный выражать наши понятия о соотношении величин.

Эту роль знаков как орудий прекрасно отмечает Шереметьевский в своем очерке «История математики». «Что касается, — говорит он, — собственно математического анализа, то одна характерная особенность обращает его в настоящую машину мысли, исполняющую ее работу с быстротой и точностью, свойственной хорошо пригнанному механизму. Я говорю о приеме символического записывания всех заключений анализа с помощью алгебраического знака».

Сравнивая современную алгебру, пользующуюся этими знаками, с риторической алгеброй древних, этот автор приходит к заключению, что вся психологическая работа по решению задач перестроилась под влиянием нового способа обозначения операций. «Они были лишены, — говорит он о древних математиках, — той механизирующей рассуждение символики, которая представляет громадное преимущество современной алгебры. В их несимволизированной или риторической алгебре приходилось усиленно напрягать память и воображение, чтобы постоянно удерживать в сознании все логические нити, связывающие конечные выводы с условиями задачи. Античному математику приходилось развивать тот особый склад мыслей, который вырабатывается у шахматных игроков, ведущих партию, не глядя на доску. Там нужно было „сверхчеловеческое разумение“ для этой работы. Какой исключительной силы абстрактного мышления требовала эта работа, можно видеть из того, что Евклид не нашел себе подражателей и теория несоизмеримых 1800 лет оставалась в этой форме».

Мы видим, таким образом, что уже примитивный человек сделал в своем развитии тот важнейший шаг, который заключается в переходе от натуральной арифметики к пользованию знаками. То же самое мы отметили и в области развития памяти, и в области развития мышления. Мы вправе предположить, что в этом и состоит общий путь исторического развития человеческого поведения.

Подобно тому как возрастающее господство над природой основывается у человека не столько на развитии его естественных органов, сколько на совершенствовании его техники, подобно этому и господство его над собой, всевозрастающее развитие его поведения основываются преимущественно на совершенствовании внешних знаков, внешних приемов и способов, вырабатываемых в определенной социальной среде под давлением технических и экономических потребностей.

Под этим влиянием перестраиваются и все естественные психологические операции человека. Одни отмирают, другие раскрываются. Но самым важным, самым решающим, самым характерным для всего процесса является то, что он совершенствуется извне и определяется в конечном счете общественной жизнью той группы или того народа, к которому принадлежит индивид.

Если у обезьяны мы отмечаем наличие употребления орудий и отсутствие употребления знаков, то у примитивного человека мы замечаем выросший на основе примитивных орудий труд как основу его существования и переходную форму от натуральных психологических процессов (как эйдетическая память, непосредственное восприятие количеств) к пользованию культурными знаками, к созданию особой культурной техники, при помощи которой он овладевает своим поведением.

Однако есть одна черта, характеризующая в этом отношении ту стадию, которой достиг в своем развитии примитивный человек. Когда хотят охарактеризовать примитивного человека одним словом, обыкновенно говорят о магии или магическом мышлении как наиболее характерной для него черте. Эта черта, как мы сейчас постараемся показать, характеризует не только внешнее поведение человека, направленное на овладение природой, она характеризует и его поведение, направленное на овладение собой.

Что такое магическое действие, легко видеть на любом самом простом примере. Человек хочет, чтобы пошел дождь. Для этого он изображает при помощи особой церемонии дождь: дует, изображая ветер, размахивает руками, изображая молнию, стучит в барабан, изображая гром, проливает воду, — одним словом, подражает дождю, создает зрительную картину, аналогичную той, какую он хочет вызвать в природе. К подобной же магии, основанной на аналогии, прибегает примитивный или полупримитивный человек тогда, когда он совершает половой акт на засеянном поле, желая таким образом побудить землю к плодородию.