Чтение онлайн

Вполне достаточно знать числа только до этих пор, но можно идти и далее. Действительно, пусть упомянутые до сих пор числа называются числами первого периода, а последнее число первого периода назовем единицей первых чисел второго периода. Далее мириаду мириад первых чисел второго периода назовем единицей вторых чисел второго периода. Точно так же последнюю единицу этих чисел назовем единицей третьих чисел второго периода; если постоянно продолжать таким образом, то числа второго периода получат имена вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел. Далее, последнее число второго периода назовем единицей первых чисел третьего периода и будем так продолжать вплоть до мириады мириад мириадо-мириадных чисел мириадо-мириадного периода. [...]

Теперь доказано, что количество песка в (объеме), равном по величине тому, что большинство астрономов называют миром, меньше чем 1000 единиц седьмых чисел. [...]

[...] Ясно, что количество песчинок в (объеме), равном по величине сфере неподвижных звезд, как ее мыслит Аристарх, будет меньше, чем тысяча мириад (единиц) восьмых чисел.

Архимед Досифею

Узнав о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически.

Утверждение 21

Если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом то же самое основание и ту же высоту, а в оставшиеся сегменты вписать другие треугольники, имеющие те же самые основания и высоты, что и у этих сегментов, то треугольник, вписанный в весь сегмент, будет в восемь раз больше каждого из треугольников, вписанных в сегменты, оставшиеся [по краям].

Утверждение 23

Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сложенные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наибольшей.

Утверждение 24

Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту.

Книга I

Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим.

Утверждение 2

Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли.

Утверждение 3

Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз.

Утверждение 4

Тело более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости.

Утверждение 5

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующей погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела.

Утверждение 6

Тела более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела.

Утверждение 7

Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела.

Книга II

Утверждение 1

Если какое-нибудь тело, более легкое, чем жидкость, опустить в эту жидкость, то оно по тяжести будет находиться в том же отношении с жидкостью, какое погруженный объем имеет ко всему объему.

Поскольку так называемый стомахион может служить предметом разнообразных теорий относительно перестановок составляющих его фигур, то я счел необходимым сначала рассказать о его величине, об отдельных его частях, на которые он разделяется, о том, чему каждая из них может быть уподоблена...

Архимед приветствует Эратосфена.

[...] Зная, что ты являешься, как я всегда говорю, ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый особый метод, благодаря которому ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.

[...] Поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, для того чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой — поскольку я убежден, что он может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову.

Утверждение 4

Пусть АВС будет полукруг; построим на диаметре АС два полукруга AD и DC и восставим перпендикуляр DB\ получающаяся фигура, которую Архимед называет «арбелос» (это будет площадь, ограниченная дугой большого полукруга и двумя окружностями малых кругов), будет равна кругу, диаметром которого является перпендикуляр DB.

Утверждение 5

Если дан полукруг АВ, на его диаметре где-нибудь взята точка С, на диаметре построены два полукруга Л С и СВ, из С восставлен перпендикуляр CD к АВ и с обеих сторон (от него) построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов, то эти два круга будут равны.

Утверждение 7

Если около квадрата один круг описан, а другой вписан в него, то описанный круг будет вдвое больше вписанного.

Утверждение 14

Если будет полукруг АВ, от его диаметра АВ отсечены равные прямые Л С, BD и на линиях Л С, CD, DB построены полукруги, причем центром двух полукругов на АВ и CD будет точка Е, то по проведении к АВ перпендикуляра EF, продолженного до точки Gy круг на диаметре FG будет равен площади фигуры, заключающейся между большим полукругом, находящимися внутри его двумя полукругами и средним полукругом, который будет вне большого полукруга. И это есть фигура, которую Архимед называет «салинон».