Чтение онлайн

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» ? «цапля сохла» ? «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» ? «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» ? «Z < -1». Определение логической связки ? данное выше, можно записать так:

[(A ? B) ? (A ? B) ? (¬A ? ¬B)] ? [(A ? B) ? (¬A ? ¬B) ? (A ? B)]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» ? «Лампочка не горит» ? «Нет электричества» ? «Перегорели пробки» ? «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.

6.8. Предикаты

Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например

P, L( , ), I( , , )

или же в виде

P(x), L(z, y), I(x, y, z)

оговорив, что x, y, z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,

«красный»(x), «между»(x,у, z)

и специальные математические знаки, например,

<(х, у).

Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание

«красный»(«мяч»)

означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция

<(a, b)

равнозначна соотношению (неравенству) a < b.

Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение |z| > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде

>(z, 1) ? <(z, -1).

6.9. Кванторы

В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности ? и квантор существования ?. Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х, поэтому будем записывать его в виде S(x). Тогда высказывание

(?x)S(x)

означает, что для всех х имеет место S(x), а высказывание

(?x)S(x)

состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S(x).

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

i=n? mSi

не зависит от индекса i. Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.

Примеры высказываний с кванторами:

(?х)(?у)(«брат»(х, у) ? «мужчина»(у)) ? «брат»(у, x).

Для всякого х и всякого у, если х — брат у и у — мужчина, то у — брат x.Если через D(x, y) обозначить высказывание «x является делителем у», то одно из соотношений, приведенных выше в качестве примера высказываний, изобразится в виде