Чтение онлайн

Логическим выводом формулы q из множества формул Х (посылок) называется конечная последовательность формул

D = (d1, d2, ..., dn)

такая, что dn совпадает с q и каждая формула di, есть либо формула из множества посылок X, либо логическая аксиома, либо заключение, полученное по правилам вывода из предыдущих формул dj. Когда мы рассматриваем аксиоматическую теорию, то в качестве множества Х фигурирует совокупность всех аксиом данной теории, а логический вывод некоторой формулы есть ее доказательство.

Итак, доказательство формулы само стало формальным объектом, формулой определенного вида (последовательность логических высказываний), вследствие чего возникла возможность чисто синтаксического исследования доказательств как свойств некоторой языковой машины. На эту возможность указал Д. Гильберт (1862–1943), крупнейший математик XX в., который вместе со своими учениками и заложил основы нового направления. Гильберт ввел понятие метаязыка и назвал новое направление метаматематикой. Термин метасистема, который мы ввели в начале книги (и который сейчас является общепринятым), возник в результате обобщения терминологии Гильберта. Действительно, переход к исследованию математическими средствами математических доказательств – яркий пример крупномасштабного метасистемного перехода.

Основная цель, которую преследовала программа, намеченная Гильбертом, это доказательство непротиворечивости различных систем аксиом. Система аксиом называется противоречивой, если из нее можно вывести некоторую формулу q и ее отрицание ¬q. Легко показать, что если существует хотя бы одна такая формула, т. е. если теория противоречива, то из нее можно вывести любую формулу. Поэтому для аксиоматической теории вопрос о непротиворечивости системы аксиом, на которых она основана, имеет чрезвычайно большое значение. Этот вопрос допускает чисто синтаксическую трактовку: можно ли из заданных формул (наборов знаков), действуя по заданным формальным правилам, получить заданный формальный результат? Из такой постановки вопроса и исходил Гильберт; затем оказалось, что существуют и другие важные свойства теорий, которые можно исследовать синтаксическими методами. На этом пути было получено много интереснейших и важнейших результатов, главным образом негативного характера; однако мы не можем здесь на них останавливаться.

12.11. Формализация теории множеств

Понятие совокупности, или множества, принадлежит к числу фундаментальнейших понятий, данных нам природой, и предшествует понятию числа. В своем первичном виде оно не дифференцируется на понятие конечного и бесконечного множеств, однако, эта дифференциация появляется весьма рано; во всяком случае, в древнейших письменных памятниках мы уже находим понятие о бесконечности и бесконечном множестве. Это понятие использовалось в математике испокон веков, оставаясь чисто интуитивным и само собой разумеющимся, и не подвергаясь специальному рассмотрению, пока Георг Кантор (1845–1918) не создал в 70-х годах свою теорию множеств, которая вскоре легла в основу всей математики. Понятие множества (конечного и бесконечного) остается у Кантора по-прежнему интуитивным, он определяет его следующим образом: «Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией и нашей мыслью». Это «определение» является, конечно, не в большей степени математическим определением, чем «определение» Евклида «точка есть то, что не имеет частей». Но, несмотря на столь нечеткие исходные позиции, Кантор (опять-таки подобно греческим геометрам) создал стройную и логически последовательную теорию, с помощью которой ему удалось привести в замечательный порядок основные понятия и доказательства математического анализа. («Просто поразительно, — пишет Н. Бурбаки, — какую четкость постепенно приобретают у него понятия, которые, казалось, были безнадежно запутаны в классической концепции континуума».) С теорией множеств математики получили единообразный метод создания новых понятий — конструктов и доказательства их свойств. Так, например, действительное число есть множество всех последовательностей рациональных чисел, имеющих предел; отрезок действительной прямой — множество действительных чисел; функция — множество пар (x, f), где х и f — действительные числа.

К концу XIX в. теория множеств Кантора получает признание и естественным образом сочетается с аксиоматическим методом. Но тут разражается знаменитый «кризис основ» математики, продолжавшийся в течение трех десятилетий. В теории множеств были обнаружены «парадоксы», т. е. построения, приводящие к противоречиям. Первый парадокс обнаружил Бурали-Форти в 1897 г., затем появилось еще несколько. Мы приведем в качестве примера парадокс Рассела (1905 г.), который можно изложить, опираясь лишь на первичные понятия теории множеств и не нарушая в то же время требований математической строгости. Парадокс этот таков. Определим M как множество всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Казалось бы, это определение вполне законно, ибо образование множеств из множеств — одна из основ теории Кантора. Между тем оно приводит к противоречию. Чтобы сделать его более ясным, обозначим через Р(х) свойство множества х быть элементом самого себя. В символической форме

P(x) ? x ? x. (12.1)

Тогда по определению множества М все его элементы х обладают свойством, противоположным Р(х):

x ? M ? ¬P(x). (12.2)

Теперь поставим вопрос: является ли само множество M своим элементом, т. е. истинно ли P(M)? Если P(M) истинно, то M ? M, согласно определению (12.1). Но в таком случае, подставляя M вместо х в утверждение (12.2), мы получаем ¬P(M). Если M входит в множество M, то по определению последнего оно не должно обладать свойством P. И напротив, если P(M) ложно, т. е. имеет место P(M), то согласно (12.2) М должно входить в M, т. е. Р(М) истинно. Таким образом, P(M) не может быть ни истинным, ни ложным. С точки зрения формальной логики мы доказали две импликации:

P(M) ? ¬P(M), ¬P(M) ? P(M).

Если выразить импликацию через отрицание и дизъюнкцию и воспользоваться свойством дизъюнкции A ? A ? A, то первое высказывание превратится в ¬P(M), а второе — в P(M). Мы получили формальное противоречие и, следовательно, из теории множеств можно вывести что угодно.

Парадоксы создали угрозу для теории множеств и основанного на ней математического анализа; возникло несколько философско-математических направлений, предлагавших различные выходы из тупика. Наиболее радикальное направление во главе с Брауэром, получившее название интуиционизма, потребовало не только полного отказа от теории множеств Кантора, но и коренного пересмотра логики. Интуиционистская математика оказалась довольно сложной и с трудом поддающейся развитию, а поскольку классический анализ при этом выбрасывался на свалку, такая позиция была найдена неприемлемой для большинства математиков. «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором», — заявил Гильберт, и он нашел выход, который сохранил основное содержание теории множеств и в то же время устранил парадоксы и противоречия. Вместе со своими последователями Гильберт сформировал главное русло, по которому направилось течение математической мысли.

Решение Гильберта полностью соответствует духу развития европейской математики. Если Кантор рассматривал свою теорию с сугубо платоновских позиций — как исследование свойств реально существующих и действительно («актуально») бесконечных множеств, то, по Гильберту, множества надо рассматривать просто как некоторые объекты, удовлетворяющие аксиомам, аксиомы же надо сформулировать так, чтобы определения, приводящие к парадоксам, стали невозможны. Первая система аксиом теории множеств, не порождающая противоречий, была предложена Цермело в 1908 г., затем она была модифицирована. Были предложены и другие системы, однако отношение к теории множеств осталось неизменным. В современной математике теория множеств играет роль каркаса, скелета, который соединяет в единое целое все ее части, но не виден снаружи и не соприкасается непосредственно с внешним миром.

По-настоящему понять эту ситуацию и совместить формальный и содержательный аспекты математики можно только с «языковой» точки зрения на математику. Эта точка зрения, которую мы настойчиво проводили на протяжении всей книги, приводит к следующей концепции. Никаких актуально бесконечных множеств нет ни в реальности, ни в нашем воображении. Единственное, что мы можем найти в своем воображении, это представление о потенциальной бесконечности, т. е. о возможности неограниченно повторять какой-либо акт. Здесь надо полностью согласиться с интуиционистской критикой канторовской теории множеств и отдать должное ее глубине и проницательности. Однако для того, чтобы использовать теорию множеств так, как это делает современная математика, вовсе не надо насиловать свое воображение и пытаться представить «актуальную» бесконечность. «Множества», которые используются в математике — это просто символы, языковые объекты, используемые для построения моделей действительности. Постулируемые свойства этих объектов частично соответствуют интуитивным понятиям совокупности и потенциальной бесконечности, поэтому интуиция частично помогает в развитии теории множеств, но иногда и обманывает. Когда новый математический (языковый) объект определяется как «множество», построенное так-то и так-то, это определение не имеет никакого значения для связи объекта с внешним миром, т. е. для его интерпретации, а нужно лишь для привязки к каркасу математики, для зацепления внутренних колесиков математических моделей.

Таким образом, язык теории множеств является фактически метаязыком по отношению к языку содержательной математики и в этом он подобен языку логики. Если логика — это теория доказательства математических утверждений, то теория множеств — это теория конструирования математических языковых объектов.

Почему же именно интуитивное понятие множества легло в основу математического конструирования?

Определить вновь вводимый математический объект — значит указать его семантические связи с уже введенными объектами. За исключением тривиального случая, когда речь идет о пере обозначении — замене знака на знак, этих связей всегда бывает много и в них может участвовать много ранее введенных объектов. И вот вместо того, чтобы говорить, что новый объект связан так-то и так-то с такими-то и такими-то старыми объектами, говорят, что новый объект есть множество, построенное так-то и так-то из старых объектов. Например, рациональное число есть результат деления двух натуральных чисел: числителя на знаменатель. Число 5/7 есть объект х такой, что значение функции «числитель» (x) есть 5, а значение функции «знаменатель» (x) есть 7. Между тем в математике определяют рациональное число просто как пару натуральных чисел. Точно так же надо было бы говорить только о реализации действительного числа различными последовательностями рациональных чисел, понимая под этим определенную семантическую связь между новыми и старыми языковыми объектами. Вместо этого говорят, что действительное число есть множество последовательностей рациональных чисел. В настоящее время эту терминологию следует рассматривать как пережиток платоновских воззрений, согласно которым важны не языковые элементы, а скрывающиеся за ними элементы «идеальной реальности»; поэтому, чтобы приобрести право на существование, объект должен был определяться как «реальное» множество. Идея множества выдвинулась на «руководящую работу» в математике как один из аспектов связи имя-значение (а именно того факта, что значением обычно является конструкция, состоящая из некоторого числа элементов), а вряд ли стоит доказывать, что связь имя-значение всегда была и будет основой языкового конструирования.