Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
G
=
G
– g
,
G
;
=
0.
(10.1.25)
В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность T удовлетворяет уравнению
T
,
=-
T
,
(10.1.26)
где T=-gT, но тензор энергии-импульса T удовлетворяет следующему соотношению
T
,
=-
T
–
1
2g
g
,
T
.
(10.1.27)
10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле
Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю
S
=
dx
L[
g
,
A
, …]
(10.2.1)
Плотность лагранжиана L содержит различные виды полей, например, поле тензора гравитации g, электромагнитное поле A и, если вещество есть скаляр, поле вещества скаляра . Когда мы вариируем это действие по отношению к различным полям, мы получаем уравнения распространения для соответствующих полей. Мы написали одну часть этого действия; давайте обозначим ту часть действия, которая ранее была пропущена, через Sm которая зависит от полей материи и электромагнитных полей A и всех других полей, какие мы только знаем. Когда мы вычисляем вариацию от действия
S
=
S
g
+
S
m
=-
1
2^2
dx
– g
R
+
S
m
,
(10.2.2)
по отношению к g, мы получаем следующее уравнение:
Sg
g
=
1
2^2
– g
R
–
1
2
g
R
=-
Sm
g
.
(10.2.3)
Тензорная плотность энергии-импульса вещества T должна быть вариационной производной Sm
T
=-
2
Sm
g
,
(10.2.4)
в том случае, если тензор T должна быть источником гравитационного поля. Теперь нам понадобится несколько примеров тензора T. Если мы не можем вычислить тензор T, исходя из некоторого физического принципа, тогда нет теории гравитации, так как мы не знаем, каким образом поля связываются с любым другим объектом.
Существуют некоторые требования непротиворечивости, подобные тем, которые мы находим в электродинамике. Для того, чтобы решить уравнения Максвелла, нам необходимо иметь токи. Это должны быть сохраняющиеся токи, а не просто произвольные токи. Сохраняющиеся токи источника, имеющие столь важное значение, получаются путём решения некоторых других задач физики, описываемых некоторым независимым законом, таким как Закон Ома, или Закон Гука, или уравнение Шрёдингера для таких и подобных систем. Если у нас не было таких других законов, то теория электромагнитных полей была бы бесполезной и не имела бы никакого значения.
Для гравитации ситуация более сложная. В тензоре T заключено и движение материи, отсюда следует, что у нас должен быть закон, которому следует материя, включая закон Ома и закон Гука; но также тензор T будет заключать в себе поля гравитации g, обстоятельство, которое запутывает подобные задачи существенно в большей степени, чем в электромагнетизме. Вообще говоря, невозможно написать каким-либо согласованным образом тензор T за исключением вакуума, если не решена уже полная запутанная задача. Беспокойство вызвано тем, что любое точно определённое выражение для тензора T не будет давать решение подобной задачи, за исключением специальных случаев метрического тензора g; полное релятивистское решение должно было бы выполняться вне зависимости от частного выбора координат и кривизны. Даже для очень простых задач у нас нет идей относительно того, каким путём надо следовать, чтобы записать правильным образом тензор T. Мы не знаем, как записать тензор T для того, чтобы описать вращающийся стержень, так что мы не можем вычислить в точности излучение им гравитационных волн. Мы не можем вычислить тензор T для системы, состоящей из Земли и Луны, поскольку приливные силы и силы упругости Земли существенно влияют на гравитационные поля. Если мы предположим, что Земля абсолютно твёрдая, то эти уравнения окажутся несогласованными. Если мы предположим, что Земля есть точка, то уравнения окажутся слишком сингулярными для того, чтобы иметь решения. И несмотря на это, материальный шар с заданной жёсткостью, такой как Земля, будет вращаться вокруг Луны другой массы и жёсткости вне зависимости от того, являются ли рассматриваемые уравнения точно определёнными.
В этом месте теория гравитации оказывается достаточно уязвимой, поскольку одна часть уравнения теории гравитации является замечательно красивой и геометрической, а другая часть нет, она содержит всю ”грязь” закона Гука и других законов, которые определяют поведение материи, которые не являются ни красивыми, ни геометрическими. Очень многие физики оказались настолько загипнотизированными красотой одной части этих уравнений, что они игнорируют другую часть. Тем самым, у них нет физики, которую необходимо было бы исследовать.
Мы должны провести некоторое изучение для того, чтобы понять возможные виды для действия, соответствующего вкладу материи Sm В качестве исходной точки полезно рассмотреть классические пределы. Если мы правильно запишем классическое действие, то обычно не очень трудно увидеть, каким образом можно обобщить формулы, чтобы они стали инвариантными при произвольных координатных преобразованиях. Удобный способ породить такие обобщённые формулы состоит в том, чтобы возвратиться назад к локально падающей (свободно падающей) касательной координатной системе, разгадать, как добавить в качестве множителей g и R так, чтобы всё выражение оказалось инвариантом. Например, свободная частица, на которую не действуют силы, характеризуется действием
S
m
=-
m
2
ds
dz
ds
dz
ds
.
(10.2.5)
Этот пример иллюстрирует процедуру решения подобных задач; обнаруживается обычно, что такой подход оказывается весьма плодотворным. Мы записываем выражения такими, как они выглядят в плоских координатах, переходим к криволинейным координатам и видим, в какие места входят величины g Часто бывает очевидно, какая общая форма будет приводить к результатам в плоском пространстве. Если z(s) - орбита частицы, которая свободно падает, то соответствующее слагаемое в действие есть