Чтение онлайн

Альберт Эйнштейн умер в Принстоне 18 апреля 1955 года от аневризмы. Он отказался от операции, не желая менять естественный ход вещей.

Для того чтобы обсудить многие эффекты ОТО, необходимо познакомиться с одним из самых важных решений (а возможно, и самым важным) уравнений ОТО – решением немецкого астронома Карла Шварцшильда (1873–1916). Оно получено в 1916 году, всего лишь через несколько месяцев после публикации Эйнштейном своих уравнений гравитационного поля. Это решение соответствует статическому сферически симметричному вакуумному пространству-времени. (О вакуумных решениях уравнений Эйнштейна см. Дополнение 4.) Слова, выделенные курсивом – это условия (ограничения), при которых искалось решение. Эти же условия определяют, чему в реальности должно соответствовать найденное решение – это пространство-время вокруг изолированного сферически симметричного тела. «Изолированного» – это в идеале, а в реальности – вокруг тела, достаточно удаленного от всех остальных тел. Таким образом, в очень хорошем приближении это решение описывает и гравитационное поле вокруг Солнца и каждой из планет Солнечной системы, шаровых звездных скоплений. Поэтому с использованием именно этого решения были проверены первые эффекты ОТО.

Решение Шварцшильда в математическом плане простое, поэтому мы немного с ним повозимся. Собственно, решением уравнений явилась метрика:

Здесь также в силу сферической симметрии мы опустили угловую часть, оставив только временную и радиальную. C – постоянная интегрирования, без дополнительных предположений или принципов ее определить невозможно. Здесь самое время обратиться к принципу соответствия. При «бесконечном» удалении от центра r -> эта метрика обращается в метрику пространства Минковского в сферических координатах, точно так же, как и метрика пространства-времени Ньютона, которую мы уже обсуждали. Значит, на достаточном удалении нам необходимо сравнить новую метрику с метрикой пространства-времени Ньютона, обсуждавшейся в предыдущей главе. При аккуратной процедуре приближения оказывается, что здесь основное возмущение в метрику плоского мира вносится только первым слагаемым в выражении для интервала. Нужно сравнить его с аналогичным членом в метрике Ньютона. Это нам даст C = –2GM/c2, после чего метрика Шварцшильда запишется в окончательном виде:

где величина rg = 2GM/c2 называется гравитационным радиусом. Мы так подробно обсуждаем решение Шварцшильда потому, что это еще и базовое решения для черных дыр, речь о которых впереди. Также потом мы обсудим смысл гравитационного радиуса. А сейчас важно отметить, что появился параметр, определяющий решение, – это масса тела M, обращение в нуль этого параметра превращает решение Шварцшильда в метрику плоского мира.

Теперь мы во всеоружии, чтобы перейти к классическим тестам, подтвердившим ОТО. Уже в 1915 году, сразу после опубликования своих уравнений, Эйнштейн назвал три эксперимента, результаты которых должны соответствовать выводам новой теории.

Первый из этих экспериментов – отклонение луча света в гравитационном поле массивного тела. Из-за слабости эффекта в роли массивного тела в то время могло выступить только Солнце. А отклонять оно может свет далекой звезды, координаты которой известны достаточно точно.

Второй эксперимент – смещение перигелиев планет. Мы уже говорили об аномальном смещении перигелия Меркурия, о котором было известно с середины XIX века.

Третий эксперимент – эффект гравитационного красного смещения. Его суть в том, что электромагнитное излучение, испущенное из окрестности гравитируещего тела, должно терять энергию. Это выражается в том, что частота сигнала уменьшается, то есть его спектр смещается в красную сторону. Для точного теоретического описания этих эффектов как раз было необходимо решение Шварцшильда, которое не замедлило появиться, как мы уже отметили и только что представили.

Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца. Начнем с отклонения света и истории обсуждения проблемы, начавшейся задолго до релятивистской эпохи. Известно, что отклонение лучей света от прямой линии обсуждалось после создания Ньютоном классической механики, и как части ее – оптики. Сам Ньютон был убежденным сторонником корпускулярной теории света. А раз так, то «световые частицы» должны двигаться в поле тяготеющего центра точно так же, как и всякие другие тела – по линиям конического сечения. Поскольку скорость света Ньютону уже была известна (она очень большая по сравнению со скоростью планет), то траектории «световых частиц» должны быть скорее гиперболическими. Ньютону было известно, конечно, как вычислять угол между асимптотами, см. рис 7.1. Поэтому очень вероятно, что Ньютону была известна формула типа = 2GM/c2R. Она как раз определяет угол отклонения в поле тела массы M частицы, движущейся со скоростью света на расстоянии R от тела. Скорее всего ему была известна также величина отклонения луча света вблизи поверхности Солнца, поскольку все необходимые значения констант ко времени опубликования «Начал» были известны. Однако часто Ньютон не публиковал результаты, а форма представления их была очень сложной. Поэтому не известно наверняка, что Ньютон эту формулу выписывал. Кроме того, по тем временам не представлялось возможным измерить это отклонение света в поле Солнца, что могло поубавить заинтересованность в проблеме.

Рис. 7.1. Отклонение луча звезды в гравитационном поле Солнца

Хотя приведенная формула не была опубликована, она фигурировала в переписке нескольких ученых. Наконец, в 1801 году немецкий астроном Иоганн Георг фон Зольднер (1776–1833) представил в Берлинский астрономический ежегодник статью об отклонении луча света в гравитационном поле звезды, которая была опубликована в 1804 году и содержала эту замечательную формулу. Однако даже после публикации, она осталась на долгое время забытой.

О формуле Зольднера вспомнили в 1911 году, когда Эйнштейн в рамках специальной теории относительности получил точно такую же. К началу XX века телескопы уже давали возможность измерить угол отклонения луча света вблизи Солнца. Однако для такого измерения было необходимо затмение Солнца Луной, чтобы были видны звезды вблизи его края. Группа астрономов из Берлинской обсерватории заинтересовалась предсказаниями Эйнштейна и собралась провести измерения во время предстоящего полного солнечного затмения в Крыму в августе 1914 года, но началась Первая мировая война. А теория тем временем развивалась. В 1915 году на основе уже общей теории относительности, Эйнштейн получил новое значение для угла отклонения:

в два раза большее зольднеровского или своего 1911 года. Последовательный вывод этой формулы производится с помощью решения Шварцшильда. Уравнение траектории луча задается, как светоподобная геодезическая в пространстве-времени Шварцшильда, она имеет простой вид: ds2 = 0. Единственным исходным условием должно быть направление света далекой звезды на край Солнца, то есть при расчетах учитывается тот факт, что луч проходит от тяготеющего центра на расстоянии радиуса Солнца R.

Итак, после этого заявления Эйнштейна нужно было проверять обе формулы. Наконец, во время ближайшего полного солнечного затмения 29 мая 1919 года группой английских астрономов измерения отклонения луча света были произведены. Перед группой стояла задача после сделанных наблюдений выбрать один из трех следующих ответов:

1) гравитационное поле Солнца не оказывает влияния на траекторию луча света;

2) гравитационное поле Солнца действует на световой луч как на обычные частицы в силу закона тяготения Ньютона, что приводит к кажущемуся смещению изображения звезды у края солнечного диска, равному 0,87'';

3) отклонение изображения звезды согласуется с предсказаниями общей теории относительности и равно 1,75''.

В пределах ошибок измерений был подтвержден третий ответ. И это было триумфом новой теории.

Смещение перигелиев планет. О смещении перигелия Меркурия мы уже говорили. В ОТО траектория планет также рассчитывается как движение массивной частицы по геодезическим в пространстве-времени Шварцшильда, окружающем Солнце. Расчет для массивных частиц немного сложнее, чем для световых. Необходимо знать массу планеты m, массу M центрального массивного тела (Солнца) и угловой момент планеты (последний определяется этими массами и эксцентриситетом e орбиты планеты). Расчет геодезической в пространстве-времени позволяет определить траекторию в пространстве. Эта траектория представляет собой вращающийся эллипс. Для орбиты с «неподвижным» эллипсом планета, начиная вращение от перигелия, за один оборот (2) снова возвратится в перигелий. Для орбиты с «вращающимся» эллипсом это уже не так: за один оборот планета окажется в другой точке, при этом точка наименьшего удаления от Солнца («новый» перигелий) сместится. Угол между направлением из центрального тела на «старый» и «новый» перигелии равен