Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре
Шрифт:
– 14-
роду. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след…»
Итак, окрыленные мнением выдающихся научных авторитетов о магической силе науки, давайте будем собирать нашу математическую головоломку, начиная с первого набора пазлов — тайн одного из последних ученых-универсалов…
– 15-
Часть 1 Тайна Пуанкаре
– 16-
«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено…»
«Эти понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам; это целое ассоциируется с другой совокупностью объектов, которые мы воспринимаем органами чувств».
«Мы не должны выносить то или иное математическое утверждение за рамки математической языковой практики и в свою очередь рассматриваем последнюю как неотъемлемую часть нашего общего языка. Математика как его функциональная часть служит для того, чтобы многое сообщать об объектах окружающего мира. Именно здесь лежит ключ к ответу на вопрос о конвенционализме. Принимаемые нами соглашения должны как-то "работать", то есть помогать нам каким-то образом следовать природе, "подражать" ей. Можно было бы, например, принять решение изменить наши математические соглашения, исключив, скажем, понятие иррационального числа. Но оно необходимо в наших взаимоотношениях с природой, а именно природа в конечном счете служит мерилом нужности принимаемых нами соглашений, как математических, так и всех прочих».
– 17-
Рис. 6. Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912)
«Можно ли утверждать, что некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, были невозможны в неевклидовом, так как опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве?
По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть…»
От личности выдающегося французского ученого конца XIX — начала XX века Анри Пуанкаре так и веет таинственностью. Раньше все разговоры среди историков науки так или иначе вращались вокруг его неоднозначного вклада в создание теории относительности. Дело в том, что хотя отцом специальной теории относительности, не говоря уже об общей теории относительности, почти во всех учебниках называется исключительно Альберт Эйнштейн, у него был целый ряд предшественников. Это прежде всего Гендрик Антон Лоренц (1853–1928), Джордж Френсис Фицджеральд (1851–1901) и Джозеф Лармор (1857–1942). Однако возглавляет этот ряд разработчиков физического релятивизма, безусловно, сам Пуанкаре.
О настоящей драме идей, сопутствующей созданию этой величайшей теории в истории науки, читатели могут подроб-
– 18-
но узнать в научно-популярной книге О. Фейгина «Теория относительности для всех». Мы же сосредоточим внимание на других сторонах творчества французского ученого, посвященного основаниям математической науки, ну и, конечно же, его знаменитой проблеме Пуанкаре (которую также называют гипотезой, теоремой и задачей), решить которую спустя столетие удалось российскому математику Григорию Яковлевичу Перельману.
Чтобы вникнуть в философскую подоплеку математических проблем, которыми занимался Пуанкаре, прислушаемся к комментариям его современного коллеги Морриса Клайна, также во многом исповедующего конвенционализм. Так, профессор Клайн считает, что роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто удобного инструмента исследования. Под этой ролью часто понимают обобщение и систематизацию (в символах и формулах) явлений, наблюдаемых и устанавливаемых с помощью физического эксперимента, и последующее извлечение из формул дополнительной информации, не обнаруживаемой ни наблюдением, ни экспериментом и не вытекающей из непосредственно полученных данных. Однако такое толкование роли математики далеко не исчерпывает всех ее достижений. Математика составляет сущность естественнонаучных теорий, и ее приложения в XIX и XX веках на основе чисто математических конструкций представляются нам еще более удивительными, чем все ее прежние успехи, достигнутые в эпоху, когда математики оперировали понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Тем не менее было бы неверно приписывать одной лишь математике такие достижения современной науки, как радиоэлектроника, аэрокосмическая индустрии, ядерная энергетика, да и, по сути, вся инженерно-техническая физика. Вклад математики более фундаментален и существенен, чем вклад экспериментальной науки.
Вообще, в своих рассуждениях Моррис Клайн настойчиво выдвигает тезис, что независимо от того, насколько приемлемы объяснения эффективности математики, есть основания утверждать, что новая физика — это наука не столько
– 19-
механическая, сколько математическая. Здесь профессор Клайн приводит наглядный пример: хотя Максвелл при создании теории электромагнитного поля пытался изобрести механическую модель эфира, в своем окончательном виде его теория была, в сущности, математической; «физическая реальность», которую описывают уравнения Максвелла, представляют собой смутное, «бесплотное» понятие электромагнитного поля. Даже Ньютон построил свои законы движения как чисто математическую структуру.
Возможно ли, что знанием математических соотношений и структур исчерпывается фундаментальное содержание физической науки? Тогда надо считать, что математическое описание Вселенной и есть окончательная реальность!
Между тем любые модельные представления, используемые для большей наглядности, так или иначе будут представлять собой отступление от физической реальности окружающего Мира. Получается, что за пределы математических формул мы каждый раз выходим на свой страх и риск!
– 20-
Гл. 1 Великий метафизик
«Самый важный факт состоит в том, что все рисуемые наукой картины природы, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… Природа, по-видимому, очень "хорошо осведомлена" о правилах чистой математики… Во всяком случае, вряд ли можно усомниться в том, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам».
Рис. 7. Пуанкаре в молодости
«Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия — хотя бы отчасти — является экспериментальной наукой.
Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временное, приближенное — и весьма грубо приближенное — значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается