Чтение онлайн

Капля дождя, которая спускается с горы, не движется по прямой линии. Разумеется, с теоретической точки зрения так и происходит, так как капля притягивается гравитацией. Но на Земле существует не только гравитация. Есть еще и поверхность Земли — а она очень неровная. Поэтому капля на своем пути вниз с горы будет двигаться не по прямой. В каждой точке своего пути ей придется определять, какое направление соответствует направлению «вниз» — и окажется, что вниз — это не всегда прямо. На пути может оказаться камешек или выпуклость, которая сделает путь капли не ровным, а немного зигзагообразным. Путь капли будет отражать местные условия в каждой точке ее пути вниз. Дождевые капли не раздумывают, куда идти, не разрабатывают маршрут, а затем им следуют. В каждой точке пути капли движутся по направлению вниз.

Капли движутся в соответствии с местной, а не глобальной ситуацией, и их путь определяется шаг за шагом.

Вот почему капли не движутся по прямой. Когда идет дождь, они могут двигаться по прямой, если не будет ветра, но по пути с горы — нет.

Вот почему и реки, и ручейки тоже не являются прямыми. Они следуют извилистым курсом, который определяется не только общим наклоном поверхности, но еще и местными различиями в мягкости почвы. Большая скала может заставить русло повернуть в одну сторону, а отложения гравия — в другую. Если мы будем наблюдать за рекой с самолета или со спутника, мы заметим большие повороты ее курса. Если же мы будем идти вдоль ее берега, мы заметим множество более мелких изгибов внутри больших поворотов, которые наблюдали с воздуха.

Но если мы поедем в Голландию, то не увидим почти ничего, кроме прямых речных русел. Причина этого заключается в том, что ландшафт Голландии, если говорить в общем, неестественный. Страна лежит ниже уровня моря, защищенная дамбами. И все потоки воды в стране тщательно регулируются — как высота воды, так и ее количество — дамбами и системами регулирования. Отслеживать потоки воды легче всего, если они протекают по прямым линиям — созданным руками человека каналам.

Голландские каналы как будто вышли из учебника геометрии, а весенние ручейки, которые несут талые воды с горных вершин, выглядят как что угодно — но не как то, чему учит нас наука.

Как вполне правильно понимал Персиваль Лоуэлл, прямые линии являются свидетельством интеллекта и цивилизации. Прямая линия — это отпечаток сознания. На мире или, как в случае Лоуэлла, на восприятии.

Бенуа Б. Мандельброт, математик польского происхождения, работавший в исследовательском центре IBM в Йорктаун Хайс, Нью-Йорк, был первым, кто, критикуя Эвклидову геометрию, которая до самого недавнего времени была основой всех математических исследований и обучения, высказал эту точку зрения. Мандельброт является создателем фракталов — геометрических форм, которые не являются прямыми или прямолинейными, а могут изгибаться в любой точке и, следовательно, создавать абстрактные формы. Эти формы кажутся человеческому глазу неописуемо прекрасными, так как они отличаются такой же сложностью, что и естественные природные формы большой сложности и глубины, формы, которые становятся тем богаче, чем ближе мы их изучаем.

В своей книге о фрактальной геометрии природы, опубликованной в 1988 году, Мандельброт писал: «Почему геометрия часто описывается как «холодная» или «сухая»? Одна из причин этого лежит в ее неспособности описать форму облака, горы, линии побережья или дерева. Облака — это не сферы, горы — не конусы, линия побережья — не круги, а кора не гладкая и молния не движется по прямой. Если говорить в целом, я заявляю, что многие формы природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с Эвклидом Природа демонстрирует не просто более высокую степень, а полностью другой уровень сложности». 3

Можно задаться вопросом: с чего бы ученому, который работает на компьютерную корпорацию, писать книгу с подобной точкой зрения. На самом деле причина этого кроется как раз в компьютере.

Большая часть математических знаний, которые мы получили в школе — это знания о формах и функциях, которые являются постоянными и дифференцируемыми. На практике это означает, что они состоят из ровных, правильных фигур и математических функций. Небольшое изменение означает не слишком много. Большое изменение означает многое.

Примерно в 1700 году Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц создали дифференциал и интегральное счисление, на которых базируются почти все естественные науки. Это удивительный математический инструмент для анализа плавных форм и функций. Ньютон и Лейбниц придумали хитрые обходные пути, которые позволяют нам суммировать знание в нескольких простых формулах, которыми легко манипулировать на кусочке грубой бумаги. Всю задачу можно просчитать вручную, так как она упрощена математическими фокусами, которые придумали двое ученых.

Любая задача, которую мы не можем решить путем подобных математических вычислений, может быть решена численно — то есть мы должны высчитывать число за числом, цифру за цифрой. Никто не станет этого делать. Поэтому недифференцируемые формы и функции — все неправильное — никого не интересовали, пока не появились компьютеры.

С появлением компьютеров внезапно появилась возможность вычислить весь путь с любыми задачами, которые можно было описать другими формами математики, отлично поддающимися дифференциальному и интегральному исчислению. Другими словами, это все формы, которые не могут быть описаны через простые геометрические фигуры, и все функции, которые не могут быть описаны методами, легко просчитываемыми до конца.

Бенуа Мандельброт исследовал подобные сложные формы и дал им название фракталов. Но на самом деле открыл их не он. Фракталы были открыты во время Первой мировой войны французскими математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату. Но исследовать их не удалось, так как они были слишком сложны. Поэтому их просто назвали монстрами и сложили на полку (вместе с даже более старыми подходами к фрактальной математике). А к концу 1990-х любой ребенок был знаком с их красотой — благодаря компьютеру, который ничего не имеет против вычисления несчетного количества мелких решений, которые необходимо принять, прежде чем построить фрактальное изображение.

Фракталы не базируются на исключительно сложной математике, даже несмотря на то, что формируют очень сложные модели. Многие фракталы можно описать очень простыми формулами, которые повторяются снова и снова в процессе, известном как итерация: берем формулу и подсчитываем число, используя эту формулу. Затем берем результат и снова подставляем его в эту формулу, получаем новый результат, который, в свою очередь, опять подставляется в формулу.

Результат и есть итерация — бесконечное повторение, которое приводит к моделям высокой сложности на основе очень простых правил. Секрет заключается в повторении.

Подобные повторения человек выполнять не станет. А компьютеры не возражают — и природа тоже с радостью их выполняет.

Многие инструкции в генах живых существ, подчеркивает Мандельброт, обладают как раз характеристиками инструкций для процесса, который должен повторяться снова и снова. К примеру, мы медленно создаем дерево, повторяя одну и ту же форму внутри себя снова и снова. Возьмите кочан цветной капусты, разделите его на соцветия — их можно делить снова и снова на еще меньшие соцветия, и в конечном итоге они оказываются намного меньше, чем ноготь мизинца. Та же базовая форма, повторенная внутри себя снова и снова.