Чтение онлайн

(3)

где ?осн — основная погрешность средства измерений; ?дин — динамическая погрешность; ?доп — дополнительная погрешность; n — число влияющих величин.

Выражение (3) также может быть представлено в следующем виде:

(4)

где ?(?i) — функция влияния, или коэффициент влияния, когда она линейна, или функция совместного влияния нескольких влияющих величин ?(?i,?j); ?i— i– тая влияющая величина; ?0i— значение влияющей величины принятое при градуировке ИП; i = 1,2…n; j = 1, 2…n, при i не = j.

Мгновенное значение дополнительной погрешности может быть определено из разности сигнала с выхода преобразователя и входного сигнала:

?доп(t) = (y(t) — x(t)) = ax(t)[?(t) — ?0]. (5)

Так как в выражение (4) дополнительная погрешность входит в виде квадрата своего значения, то более удобно определять сразу ее квадрат, поэтому (5) запишем в виде:

?2доп(t) = a2x2(t))[?(t) — ?0]2.

В технологических измерениях, как правило, интерес представляет не мгновенное, а среднее значение измеряемого параметра, а, следовательно, и расчет дополнительной погрешности необходимо проводить в «среднем» за период времени.

Выражение для расчета математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности без учета динамических характеристик каналов воздействия измеряемой и влияющих величин имеет вид [10]:

M{?2доп} = a2[?2x?2? + ?2x?2?(1 + 2p2x?) + ?2x?2? + ?2??2x + 4?x???x??px?]. (6)

где px? — коэффициент корреляции между измеряемой и влияющей величинами.

Здесь и в дальнейшем под обозначением ??, будем понимать смещение математического ожидания влияющей величины относительно значения ?0, которое принято при градуировке измерительного преобразователя.

В том случае, когда в сигналах входной и влияющей величин присутствуют гармонические составляющие, определяемые соответственно как:

xh(t) = Cxsin(?xt),

?h(t) = C?sin(??t).

где Cx и C? — амплитуды гармонических составляющих соответственно входного и влияющего воздействий; ?x и ?? — их частоты.

Выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности с учетом гармонических составляющих коррелированных сигналов измеряемой и влияющей величин имеет вид [5]:

В том случае, когда гармонические составляющие случайных процессов xh(t) и ?h(t) коррелированы, т. е. ?x = ??, выражение (7) усложняется:

где ф — сдвиг фаз между гармоническими составляющими.

При воздействии на измерительный преобразователь n статистически независимых влияющих величин (рис. 1), не коррелированных с входным воздействием, выражение для расчета квадрата мультипликативной дополнительной погрешности имеет вид

где ai — коэффициент влияния i– той влияющей величины.

Рис. 1. Структура модели возникновения дополнительной погрешности при наличии множества влияющих воздействий.

При воздействии на ИП n статистически зависимых влияющих величин, которые коррелированы с входным воздействием, выражение (9) существенно усложняется и принимает вид:

Во всех предыдущих расчетах предполагалось, что тракты прохождения измеряемой и влияющей величин являются безинерционными, или, искажениями формы сигналов за счет инерционности можно пренебречь. В том случае, когда в каналах присутствует инерционность (рис. 2), расчет математического ожидания квадрата мультипликативной дополнительной погрешности осуществляется по иной схеме.

Рис. 2. Структура модели образования динамической и мультипликативной дополнительной погрешностей при учете динамических свойств каналов сигналов входного и влияющего воздействий

При наличии в измерительном канале инерционности в результат измерения помимо дополнительной погрешности вносится еще и динамическая погрешность. Существующие методы расчета позволяют вычислить отдельно каждую составляющую, а затем, произвести геометрическое суммирование. При этом, как правило, предполагается, что эти составляющие статистически независимы. В действительности, это допущение не совсем корректно, т. к. не учитывает наличие корреляционной связи между составляющими суммарной погрешности, возникающей при прохождении измерительного сигнала и сигнала влияющей величины через тракт ИП.

Суммарная погрешность ИП, будет определяться из соотношения:

?(t) = x(t) — y1(t) = x(t) — [a•y(t)e(t) + y(t)].

Определим квадрат суммарной погрешности:

?2(t) = [x(t) — y(t) — ay(t)e(t)]2 = [x(t) — y(t)]2 + a2y2(t)e2(t) — 2ay(t)[x(t) — y(t)].

В выражении (11) присутствуют 3 составляющие. Первая определяет квадрат динамической погрешности ?2дин; вторая — квадрат дополнительной погрешности ?2доп; третья — член, обусловлен наличием корреляционной связи между дополнительной и динамической погрешностями.

Рассмотрим, в качестве примера, случай, когда случайный процесс на входе измерительного канала имеет спектральную плотность мощности вида: