Чтение онлайн

Очень грубо говоря, мы поступаем следующим образом. Прежде всего рассматриваем простейшие предложения, которые не содержат каких-либо других предложений в качестве своих составных частей. Для этих простейших предложений можно определить условия их истинности непосредственно (используя ту же самую идею, которая ведёт к частным дефинициям). Затем, используя синтаксические правила, касающиеся формирования сложных предложений из простых, расширяем дефиницию на любое составное предложение языка. В данном случае используется метод, известный математикам как рекуррентная дефиниция. По некоторым техническим причинам метод рекурсии используется для определения понятия выполнения, а не истины. Истина затем легко определяется в терминах выполнимости.

* * *

Что бы ни было получено с помощью построения материально адекватной дефиниции истины для какого-либо научного языка, один факт, видимо, будет несомненным: эта дефиниция не дает нам пригодного критерия, на основании которого можно было бы определить, является ли некоторое частное предложение в данном языке истинным или ложным (и она, конечно, вообще не предназначается для этой цели). Рассмотрим, например, следующее предложение: «Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке». Если нас интересует вопрос, истинно ли это предложение, и мы обратимся за ответом к дефиниции истины, нас постигнет разочарование. Единственная информация, которую мы получим, будет состоять в том, что данное высказывание является истинным в том случае, если биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, и ложным, если они не всегда пересекаются в одной точке. Но только геометрическое исследование может решить, как обстоит дело в действительности. Аналогичные замечания применимы к высказываниям из области любых других частных наук: решение вопроса о том, истинно данное предложение или нет, является задачей конкретной науки, а не логики или теории истины.

Некоторые философы и методологи склонны отрицать любую дефиницию, которая не даёт критерия для решения вопроса о том, подпадает ли данный частный объект под определяемое понятие, или нет. В методологии эмпирических наук такая тенденция представлена доктриной операционализма. Философы-математики, принадлежащие к конструктивистской школе, также, видимо, обнаруживают подобную тенденцию. Однако, в обоих случаях люди, придерживающиеся такого мнения, оказываются в меньшинстве. Достаточно очевидно, что при последовательном проведении этой программы многие отрасли современной математики должны были бы исчезнуть, а теоретические разделы многих эмпирических наук (физики, химии, биологии) — претерпеть существенные деформации. Дефиниции таких понятий, как атом или ген, так же как и большинство дефиниций в математике, не содержат каких-либо критериев для решения вопроса о том, подпадает ли тот или иной объект под термин, определенный именно таким образом.

Поскольку дефиниция истины сама по себе не обеспечивает нас критерием истинности и в то же время поиски истины справедливо рассматриваются как сущность научной деятельности, проблема нахождения по крайней мере частичных критериев истины и разработки процедур, которые могли бы позволить нам признать или отрицать истинность как можно большего количества высказываний, представляется очень важной. Такие процедуры, конечно, известны, некоторые из них применяются исключительно в эмпирических науках, другие — преимущественно в дедуктивных. Понятие доказательства — второе понятие, обсуждаемое в данной статье, — относится именно к процедуре установления истинности предложений в дедуктивных науках. Эта процедура является существенным элементом того, что известно под названием аксиоматического метода — метода, наиболее широко используемого в настоящее время для разработки и изложения математических дисциплин.

Аксиоматический метод является продуктом длительного исторического развития. Некоторые представления об этом развитии будут, вероятно, существенными для понимания современного понятия доказательства. [7] Первоначально математика была совокупностью высказываний, касавшихся некоторого класса объектов или феноменов. Эта совокупность не имела никакого структурного порядка; высказывание рассматривалось как истинное либо потому, что казалось интуитивно очевидным, либо потому, что было доказано на основе некоторых интуитивно очевидных высказываний (то есть если было показано посредством некоторого интуитивно несомненного аргумента, что оно есть следствие этих высказываний). Критерий интуитивного доказательства (и интуитивной несомненности аргументов) применялся без каких-либо ограничений. Каждое предложение, признаваемое за истинное на основании этого критерия, автоматически включалось в дисциплину. Такое описание, по-видимому, соответствует, например, геометрии в том виде, как она была известна древним египтянам и грекам доевклидова периода.

Однако вскоре было понято, что критерий интуитивного доказательства весьма далёк от непогрешимости и часто ведёт к серьёзным ошибкам. Развитие аксиоматического метода можно рассматривать как выражение тенденции ограничить обращение к интуитивной очевидности. Эта тенденция проявляется прежде всего в стремлении доказать как можно больше предложений и, следовательно, ограничить, насколько это возможно, число предложений, принимаемых за истинные только на основе интуитивной очевидности. Идеалом с этой точки зрения было бы доказательство истинности каждого предложения, которое принимается за истинное. По вполне очевидным причинам этот идеал не может быть реализован: мы доказываем каждое предложение на основе других предложений, а эти другие предложения — на основе дальнейших предложений, и так далее. Если мы хотим избежать как порочного круга, так и бесконечного регресса, нужно где-то прервать эту процедуру.

В качестве компромисса между недостижимым идеалом и реализуемыми возможностями возникли два принципа, которые были последовательно применены при построении математических дисциплин. Согласно первому из этих принципов, каждая дисциплина начинается с перечня небольшого количества предложений, именуемых аксиомами или исходными предложениями, которые представляются как интуитивно самоочевидные и признаются истинными без каких-либо дополнительных подтверждений. Согласно второму принципу, никакое предложение в рамках данной дисциплины не рассматривается как истинное до тех пор, пока мы не будем в состоянии доказать его исключительно с помощью аксиом и тех предложений, которые доказаны раньше. Все те предложения, которые могут признаваться за истинные на основании этих двух принципов, именуются теоремами или доказуемыми предложениями данной дисциплины. Два аналогичных принципа касаются употребления терминов при построении дисциплины: согласно первому из них, сначала перечисляют незначительное число терминов, именуемых неопределяемыми или исходными терминами, которые выступают в качестве непосредственно понимаемых и которые мы решаем использовать (при формулировке и доказательстве теорем), не расширяя их значения. Согласно второму принципу, договариваются не использовать никаких дополнительных терминов, если мы не в состоянии объяснить их значение с помощью исходных неопределяемых терминов и терминов, ранее определённых.

Эти четыре принципа суть краеугольные камни аксиоматического метода, и дисциплины, разрабатываемые в соответствии с этими принципами, называются аксиоматическими теориями.

Вплоть до конца девятнадцатого столетия понятие доказательства имело главным образом психологический характер. Доказательство было некоторой интеллектуальной деятельностью, целью которой было убеждение самого себя и других в истинности обсуждаемого предложения. На аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, за исключением того, что они должны быть интуитивно убедительными. Однако в какой-то период начала чувствоваться необходимость подвергнуть понятие доказательства более глубокому анализу, который имел бы результатом ограничение ссылок на интуитивную очевидность в данном контексте. Это было, вероятно, связано с развитием некоторых специфических направлений в математике, в частности с открытием неевклидовых геометрий. Такой анализ был осуществлён логиками, начиная с Г. Фреге, что привело к введению нового понятия — понятия формального доказательства, которое оказалось адекватной заменой и существенным усовершенствованием старого психологического понятия.

Первый шаг к обеспечению математической теории понятием формального доказательства состоит в формализации языка этой теории, в том смысле, который уже обсуждался в связи с дефиницией истины. В результате формализации получаются формальные синтаксические правила, позволяющие, в частности, просто по виду выражений отделить предложения от таких выражений, которые предложениями не являются. Следующий шаг - формулирование немногих правил доказательства (или вывода). Число правил доказательства невелико, и их содержание несложно. Интуитивно все эти правила доказательства представляются непогрешимыми в том смысле, что предложение, которое непосредственным образом выводится из истинных предложений с помощью какого-либо из этих правил, должно быть истинным само по себе. В действительности же оказывается, что непогрешимость правил вывода может быть установлена на основе адекватной дефиниции истины. Наиболее известным и важным примером правил доказательства является правило отделения modus ponens. Согласно этому правилу (которое в некоторых теориях является единственным правилом доказательства), предложение q непосредственно выводимо из данных предложений, если одно из них есть условное предложение вида «если p, то q», тогда как другое есть р (здесь p и q являются, как обычно, сокращенными обозначениями любых предложений формализованного языка).

Теперь можно объяснить, в чём состоит формальное доказательство предложения. Сначала применяют правила вывода к аксиомам и получают новые предложения, непосредственно выводимые из аксиом. Затем те же правила применяют к новым предложениям (или совместно к новым предложениям и аксиомам) и получают новые предложения и т.д. Если после конечного числа шагов мы приходим к некоторому предложению, то говорим, что оно формально доказано. Данную процедуру более точно можно выразить следующим образом: формальное доказательство предложения Ѕ состоит в построении конечной последовательности предложений, такой, что (1) первое предложение есть какая-либо аксиома языка, (2) каждое из последующих предложений есть или некоторая аксиома, или непосредственно выводимо с помощью одного из правил вывода из каких-либо предложений, предшествующих ему в этой последовательности, и (3) последним предложением в этой последовательности является Ѕ.

Любая аксиоматическая теория, язык которой формализован и для которой имеет силу понятие формального доказательства, называется формализованной теорией. Мы оговариваем в качестве особого условия, что единственным доказательством, которым можно пользоваться в формализованной теории, является формальное доказательство. Ни одно предложение не может рассматриваться как теорема, если оно не появляется в списке аксиом или для него не может быть найдено формальное доказательство. Метод изложения формализованной теории на каждой стадии её развития является в принципе очень элементарным: мы сначала перечисляем аксиомы, а затем все известные теоремы в таком порядке, что каждое предложение из списка, не являющееся некоторой аксиомой, может быть непосредственно установлено как теорема просто путём сравнения его вида с видом предложений, которые предшествуют ему в списке, без привлечения для этого сложных видов рассуждения и убеждения. (Мы здесь не говорим о психологическом процессе, посредством которого теоремы открывались на самом деле). В результате обращение к интуитивной очевидности существенно ограничивается; сомнение относительно истинности теорем хотя целиком и не элиминируется, однако сводится к возможным сомнениям относительно истинности немногих предложений, перечисленных в качестве аксиом, и к сомнениям в непогрешимости немногих простых правил доказательства. Мы можем добавить, что процесс введения новых терминов в язык теории также может быть формализован с помощью специальных формальных правил образования дефиниции.