Чтение онлайн

Таблица истинности

Если заданы два высказывания P, Q, то их значения истинности могут распределяться четырьмя возможными способами: 1) P и Q истинны; 2) P истинно, Q ложно; 3) P ложно, Q истинно; 4) P и Q ложны.

В каждом конкретном случае мы должны иметь дело с одним и только с одним из этих четырех вариантов. Рассмотрим теперь высказывание P - Q. Можно ли определить, в каких случаях оно истинно и в каких - ложно? Можно, если воспользоваться следующими соображениями.

Случай 1: P и Q истинны. Так как Q истинно, то P - Q истинно (факт 2).

Случай 2: P истинно, Q ложно. Тогда P - Q ложно (факт 3).

Случай 3: P ложно, Q истинно. Тогда P - Q истинно (факт 1 или факт 2).

Случай 4: P ложно, Q ложно. Тогда P - Q истинно (факт 1).

Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:

P Q P - Q

1 И И И 2 И Л Л 3 Л И И 4 Л Л И

Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P - Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P - Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке - что если P ложно и Q ложно, то P Q истинно.

Заметим, что P - Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.

Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания "Если P, то Q", достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание "Если , то Q" истинно.

В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт

4.

А. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ К РЫЦАРЯМ И ЛЖЕЦАМ

109.

О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: "Если я рыцарь, то B - -- рыцарь".

Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?

110.

У A спрашивают: "Вы рыцарь?" Тот отвечает: "Если я рыцарь, то съем собственную шляпу".

Докажите, что A придется съесть свою шляпу.

111.

A утверждает: "Если я рыцарь, то дважды два - четыре".

Кто такой A: рыцарь или лжец?

112.

A заявляет: "Если я рыцарь, то дважды два - пять". Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?

113.

Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: "Если B - рыцарь, то я лжец".

Кто A и кто B?

114.

Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:

A: Если X виновен, то Y виновен.

B: Либо X не виновен, либо Y виновен.

Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)

115.

У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:

A: B - рыцарь.

B: Если A - рыцарь, то C - рыцарь.

Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?

Б. ЛЮБОВЬ И ЛОГИКА

116.

Предположим, что следующие два высказывания истинны:

1) Я люблю Бетти или я люблю Джейн.

2) Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн.

Следует ли из них непременно, что я люблю Бетти? Следует ли из них непременно, что я люблю Джейн?

117.

Предположим, что у меня спрашивают: "Верно ли, что если вы любите Бетти, то вы также любите Джейн?" Я отвечаю: "Если это верно, то я люблю Бетти".

Следует ли отсюда, что я люблю Бетти? Следует ли отсюда, что я люблю Джейн?

118.

На этот раз перед нами две девушки: Ева и Маргарет. У меня спрашивают: "Правда ли, что если вы любите Еву, то вы также любите Маргарет?" Я отвечаю: "Если это правда, то я люблю Еву, и если я люблю Еву, то это правда".

О какой девушке можно с уверенностью сказать, что я ее люблю?

119.

На этот раз перед нами предстанут три девушки: Сью, Марция и Диана. Предположим, что известно следующее.

1) Я люблю по крайней мере одну из этих трех девушек.

2) Если я люблю Сью, а не Диану, то я также люблю Марцию.

3) Я либо люблю и Диану и Марцию, либо не люблю ни одну из них.

4) Если я люблю Диану, то я также люблю Сью.

Кого из девушек я люблю?

Не кажется ли вам, что логики - народ глуповатый? Уж кому, как не мне, знать, люблю я или не люблю Бетти, Джейн, Еву, Маргарет, Сью, Марцию, Диану и всех прочих. Разве для этого непременно нужно сесть за стол и что-то прикинуть на бумаге? Не сочли бы вы странным, если бы жена, спросив у своего высокоученого мужа: "Милый, ты меня любишь?" - услышала бы в ответ: "Минуточку, дорогая", после чего муж уселся бы за письменный стол и после напряженных вычислений через час сказал бы: "Ты знаешь, милая, выходит, что я тебя люблю"?

В этой связи мне вспоминается история, якобы приключившаяся с Лейбницем. Однажды великий философ стал размышлять, не жениться ли ему на некоей даме. Взяв лист бумаги, он разделил его на две части и на одной подробно перечислил все достоинства дамы, а на другой - ее недостатки.

Недостатков оказалось больше, и Лейбниц решил воздержаться от женитьбы.

120.

Эта задача, хотя и проста, но несколько неожиданна.

Предположим, что я либо рыцарь, либо лжец и высказываю два следующих утверждения:

1) Я люблю Линду.

2) Если я люблю Линду, то я люблю Кати.

Кто я: рыцарь или лжец?

121. Новый вариант старинной пословицы.

Старинная английская пословица гласит: "Под приглядом котел не закипит". Как я установил, это утверждение ложно.

Однажды мне довелось приглядывать за котлом, стоявшим на раскаленной плите, и котел закипел.

А что если мы исправим старинную пословицу, например, так:

"Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать"?