Чтение онлайн

105.Если бы всего было 12 леди, то они обменялись бы между собой 132 поцелуями, а на долю помощника священника осталось бы 12 поцелуев (6 раз поцеловал он, и 6 раз – его). Следовательно, из 12 леди 6 должны быть его сестрами. Следовательно, если 12 выполняют работу за 4,5 месяца, то шестеро выполнят ее за вдвое большее время, то есть время работы увеличится на 4,5 месяца – это и есть правильный ответ.

На первый взгляд имеется некая двусмысленность в словах «все перецеловали друг друга, за исключением, разумеется, самого застенчивого молодого человека», Не означает ли это, что все леди нескромно поцеловали помощника священника и не были в свою очередь поцелованы им (исключая сестер)? Нет, ибо в этом случае мы обнаружили бы, что среди 12 леди нет ни одной сестры, а это противоречит условиям задачи. Если же, наоборот, у кого-то возникнет подозрение, что сестры не целовали своего брата, тогда как он их поцеловал, то я отвечу на это, что в таком случае все 12 леди оказались бы сестрами. А упоминание о том, что леди без сестер могли бы выполнить данную работу, исключает такую возможность.

106. В конце семнадцатых суток улитка взберется на 17 футов, а к концу восемнадцатого дня доберется до верхнего края и тут же начнет спать и соскальзывать вниз и к концу восемнадцатых суток окажется на другой стороне в 2 футах от верхнего края стены. За сколько она спустится на оставшиеся 18 футов? Если улитка соскальзывает на 2 фута ночью, то днем, взбираясь вверх, она, очевидно, преодолевает тенденцию такого соскальзывания на 2 фута. Гребя вверх по течению реки, мы преодолеваем это течение, тогда как двигаясь по реке вниз, мы используем течение, которое нам помогает. Если улитка днем может подняться на 3 фута, преодолевая тенденцию к соскальзыванию на 2 фута, то, двигаясь по полу, она может при тех же усилиях за день пройти расстояние в 5 футов. Когда же она опускается вниз, то к этим 5 футам надо добавить еще 2 фута за счет соскальзывания. Таким образом, на пути вниз за день она проходит 7 футов, а если к ним добавить 2 фута ночного соскальзывания, то получится, что за сутки улитка спускается на 9 футов. Значит, на преодоление 18 футов потребуется двое суток, а на все путешествие – ровно 20 суток.

107. Когда Монтукла в своем издании книги Озанама «Recreations in Mathematics» заявил, что «существует не более трех равновеликих прямоугольных треугольников с целыми сторонами, но имеется сколько угодно таких прямоугольных треугольников с рациональными сторонами», он, как это ни странно, упустил из виду, что если вы приведете рациональные длины сторон к общему знаменателю и удалите этот знаменатель, то получите значения целых сторон искомых треугольников.

Каждому читателю стоит знать, что если мы возьмем любые два числа mи n,то m 2+ n 2, m 2– n 2и 2тпбудут тремя сторонами рационального прямоугольного треугольника. [37] Здесь mи nназываются производящими числами. Чтобы образовать три таких равновеликих треугольника, мы воспользуемся следующими простыми соотношениями, где m – большее число:

тп +m 2+ n 2= a

m 2– n 2и 2 = b

2mn + n 2= c

Теперь, если мы образуем три треугольника с помощью трех пар порождающих чисел, aи b, aи c, aи b+ c,то их площади окажутся равными. Это та самая небольшая задача, о которой Льюис Кэррол писал в своем дневнике: «Сидел прошлой ночью до 4 часов утра над соблазнительной задачей, которую мне прислали из Нью-Йорка, «найти три равновеликих прямоугольных треугольника с рациональными сторонами». Я нашел два… но не смог найти трех!»

Сейчас я приведу формулу, с помощью которой мы всегда по заданному рациональному прямоугольному треугольнику можем найти рациональный прямоугольный треугольник равной площади. Пусть z– гипотенуза, b– основание, h– высота, а– площадь данного треугольника; тогда все, что мы должны сделать, – это образовать рациональный прямоугольный треугольник с помощью производящих чисел z 2и 4aи привести каждую сторону к знаменателю 2z (b 2– h 2), и мы получим требуемый ответ в целых числах.

Ответ в наименьших целых числах на нашу головоломку такой:

Первый принц – 518 1320 1418

Второй принц —. 280 2442 2458

Третий принц – 231 2960 2969

Четвертый принц – 111 6160 6161

Площадь в каждом случае равна 341880 квадратным единицам. Я не стану здесь подробно показывать, как именно я получил эти числа. Однако я скажу, что первые три треугольника получены описанным выше способом, отправляясь от чисел 3 и 4, которые приводят к порождающим парам 37, 7; 37, 33; 37, 40. Эти три пары чисел дают решение неопределенного уравнения

а 3b– b 3а= 341 880.

Если мы сможем найти другую пару чисел, то дело будет сделано. Этими производящими числами будут 56, 55, которые и приводят к последнему треугольнику. Следующий ответ, наилучший после данного, который мне удалось найти, получается из 5 и 6, порождающих производящие пары 91, 11; 91, 85; 91, 96. Четвертой порождающей парой будет 63, 42.

Читатель поймет из того, что я сказал выше, что существует сколь угодно много равновеликих рациональных прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами.

108. Вот простое решение головоломки о трех девятках: 9 + 9/9.

Чтобы разделить 18 на 9 [38] (или 9/10), мы, разумеется, умножим это число на 10 и разделим его на 9. В результате, как и требовалось, получится число 20.

109. Решение состоит в следующем. Партия двух игроков, в совершенстве владеющих данной игрой, всегда должна заканчиваться вничью. Ни один из таких игроков не может выиграть у другого иначе, как по недосмотру противника. Если Нолик (первый игрок) занимает центр, Крестик должен занять угол на своем первом ходу, в противном случае Нолик несомненно выиграет. Если Нолик на первом ходу занимает угол, то Крестик сразу же должен занять центр, иначе он проиграет. Если Нолик начинает с боковой клетки, то обоим игрокам следует быть очень внимательными, ибо имеется много подводных камней. Однако Нолик может безопасно для себя свести дело к ничьей, а выиграть он может лишь по недосмотру Крестика.

110. Решение таково. Первый игрок может всегда выиграть при условии, что первый ход он сделает в центр. Хорошей вариацией данной игры будет условие, что первый игрок на первом ходу не имеет права ходить в центр. В этом случае второй игрок сразу же должен пойти в центр. Такая ситуация должна кончиться ничьей, но чтобы свести игру к ней уверенно, первый игрок обязан пойти на своем первом и втором ходах в два смежных угла (например, в 1 и 3). Тогда игра потребует огромного внимания с обеих сторон.

111. Сэр Исаак Ньютон в своей «Универсальной арифметике» показал нам, что мы можем разделить волов в каждом случае на две части – одна часть съедает прирост травы, а другая – накопленную траву. Первая часть меняется прямо пропорционально размеру поля и не зависит от времени; вторая тоже меняется прямо пропорционально размеру поля и, кроме того, обратно пропорционально времени. Со слов фермера мы определяем, что 6 волов съедают прирост травы на 10-акровом поле, а 6 волов съедают траву на 10 акрах за 16 недель. Следовательно, если 6 волов съедают прирост травы на 10 акрах, то 24 вола будут его съедать на 40 акрах.