Чтение онлайн

Преобразование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным образом. В этом случае к преобразованию перехода от координатного к импульсному представлению присоединяется также преобразование время -> энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид

k(p

2

,E

2

;p

1

,E

1

)

=

R1

R2

–

t1

e

– (i/h)p2·R2

e

(i/h)E2t2

K(R

2

,t

2

;R

1

,t

1

)

x

x

e

(i/h)p1·R1

e

– (i/h)E1t1

d^3R

1

d^3R

2

dt

1

dt

2

.

(5.13)

Заметим, что энергия E здесь не равна p^2/2m, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра. Точное измерение величины E для установления связи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией.

В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным R1 и R2 были уже найдены и определяются формулой (5.12). Нам остаётся выполнить интегрирование лишь по t1 и t2. Сделаем подстановку t2=t1+. Тогда двойной интеграл можно записать как

–

e

– (i/h)(E2– E1)t1

dt

1

0

e

– (i/h)(E2– p^2/2m)

d

.

(5.14)

Первый из этих двух интегралов является интегральным представлением -функции Дирака и равен 2h(E2– E1). Второй интеграл имеет вид

0

e

i

dt

.

(5.15)

Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических задачах; при действительном они расходятся. Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчёт, заменим комплексным числом +i. Когда обе величины и — действительные числа, интеграл равен i/(+i).

Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при , стремящемся к нулю, и принять за результат i/. Однако такой подход привёл бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем её следует- проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по всем значениям или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины. Если в нашем выражении опустить , то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении =0.

Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени. Правильный результат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной оси. Это и достигается введением в наше выражение величины .

Преобразовав выражение i/(+i) к виду

i(-i)

^2+^2

=

i

^2+^2

+

^2+^2

,

(5.16)

можно первый член в правой части представить как i/ и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при , стремящемся к нулю, становится равным , так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде. Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение i/(+i) должно быть заменено на PP[(i/)+]. Другими словами,

0

e

i

dt

=

lim

– >0

i

+i

=

PP

i

+

.

(5.17)

В последующем во всех выражениях, содержащих , будет подразумеваться предельный переход при ->0.

Возвращаясь к вычислению ядра, заменим на E2– (p^2/2m), после чего получим

E

0

(p

2

,E

2

;p

1

,E

1

)

=

(2h)

4

^3

(p

2

– p

1

)

(E

2

– E

1

)

x

x

E

1

–

p^21

2m

+i

– 1

.

(5.18)

Наличие -функций в этом выражении означает, что ни энергия, ни импульс p не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как это видно из последнего множителя, и определяют движение частицы.

Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией E и импульсом p из одной точки в другую пропорциональна i[E-(p^2/2m)+i]– 1.

В этой главе мы уже отмечали, что энергия E здесь, вообще говоря, не равна p^2/2m, а является независимой переменной.