Чтение онлайн

Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или существования. Например, формулы (х) А (х) и (х) (Р (х) -> Q(x)) содержат переменную х. В первой формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой - квантор распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату, так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и др.

Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.

С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования. Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью формулы:

(Ex) R(x),

где R обозначает свойство радиоактивности.

Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех) (К(х) -> P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р - "заболеть раком". С известными оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности: (х) (К(х) -> Р(х)). Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным, и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.

Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось, квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п. Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.

Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.

Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.

1. Законы перестановки кванторов:

(х) (у) А ~ (у) (х) А;

(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;

(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;

2. Законы отрицания кванторов:

¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;

¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А ;

3. Законы взаимовыразимости кванторов:

(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.

Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе взаимовыразимости.

Построение исчисления предикатов осуществляется, с одной стороны, аналогично построению исчисления высказываний, а с другой - качественно отличается от него.

Сходство и даже связь между обоими исчислениями заключается, во-первых, в том, что значение, которое принимает пропозициональная функция (предикат) из универсума рассуждения, при соответствующих аргументах может быть либо истинным, либо ложным. Во-вторых, все логические связки (операторы), которые рассматривались в предыдущей главе - отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация - используются и в исчислении предикатов. Следовательно, для определения истинностного значения пропозициональной функции таблица истинности, с которой мы знакомы, может применяться в принципе и здесь, однако на практике такой способ оказывается крайне громоздким и неэффективным.

Прежде всего в исчислении предикатов используются кванторы. Кроме того, для определения истинности пропозициональной функции необходимо установить определенное соответствие между функцией и теми независимыми переменными (аргументами), которые составляют область ее определения (универсум рассуждения). Например, если универсум для отношения х < у составляет множество пар целых положительных чисел, то для определения значения истинности этого отношения необходимо установить соответствие (функцию) между любой парой чисел х и у из универсума и отношением х < у. Очевидно, что при х = 2 и у = 3 высказывание, полученное путем подстановки этих чисел в формулу, будет истинным, а при х=5 и у=3- ложным.

Функция, которая соотносит независимым переменным из ее универсума соответствующее значение истинности или ложности, называют логической, интерпретационной или семантической.

В общем случае, если предикат Р зависит от п индивидных (предметных) переменных, т.е. Р (x1, х2,..., xn), то каждой n-ке переменных из универсума семантическая функция будут соотносить значение "истина" или "ложь". Если n=0, мы получим отдельное, нерасчлененное высказывание (законы исчисления таких высказываний рассматривались в предыдущей главе). Следовательно, исчисление высказываний может быть получено в качестве частного случая исчисления предикатов, а тем самым устанавливается связь между ними. При n = 1, т.е. Р(х), предикат является свойством, при n = 2, 3, 4 получаем бинарные, тернарные и тому подобные отношения.