Чтение онлайн

Переведите на символический язык следующие утверждения:

1) "Москва - столица России и находится южнее Санкт-Петербурга".

2) "Золото - металл и ценится дороже серебра".

3) "Если человек заболел гриппом, то у него повышается температура".

4. Какие переменные называются свободными и связанными? Определите область действия кванторов в следующих формулах:

1) (х) (А(х) -> В(х)) С(х); (Ех) (А(х) B(x));

2) (х) (Еу) (х < у);

3) (х)(у)(х + у = у + х).

5. Преобразуйте следующие суждения с кванторами общности в суждениях с кванторами существования и запишите их в символах:

1) "Если существуют несправедливые приговоры, то не все приговоры справедливы".

2) "Если в любом треугольнике сумма внутренних углов составляет 180°, то не существует треугольника, для которого эта теорема ложна".

3) "Если все работы сдаются в срок, то не существует отстающих";

4) "Если этого он не сделает, то не найдется того, кто это сделает".

6. Чем отличается исчисление предикатов от исчисления высказываний? Можно ли рассматривать последнее как частный случай первого? Обоснуйте свой ответ.

7. Как установить, следует ли формула В из формул А1, А2,..., Am, в исчислении предикатов?

8. Какие проблемы в логике считаются разрешимыми и неразрешимыми?

Разрешима ли проблема определения тавтологии в исчислении высказываний? Проверьте это для формулы: А -> В ~ ¬ А В.

9. Правильно ли построены следующие силлогизмы?

1) Все рыбы дышат "жабрами". Кашалот не дышит жабрами. Следовательно, кашалот - не рыба".

2) "Мысль - это движение. Движение есть свойство всей материи. Значит, мысль есть свойство всей материи".

3) "Логика изучает формы и законы правильного мышления. Учение о понятии есть часть логики. Следовательно, оно изучает законы и формы правильного мышления".

4) "Всякий предмет состоит из молекул. Логика не состоит из молекул. Следовательно, логика не является предметом".

5) "Истинное суждение правильно отражает действительность. Данная мысль правильно отражает действительность. Следовательно, она является истинным суждением".

10. Превратите следующие силлогизмы в энтимемы.

1) "Липа поглощает углекислоту, так как липа - растение, а все растения поглощают углекислоту".

2) "Ни одна планета не светит собственным светом, но многие тела в Солнечной системе - не планеты, поэтому некоторые тела Солнечной системы светят собственным светом".

3) "Все учителя - педагоги, он учитель, следовательно, он педагог".

11. Являются ли следующие суждения энтимемами:

1) "Поскольку он юрист, он должен знать права человека".

2) "Раз вы не знаете правил логики, то не можете понять ошибки в рассуждении".

3) "Вода замерзла, так как температура понизилась".

12. Найдите ошибку в рассуждении:

1) "Предполагая 2 х 2 = 8 и отнимая от обеих частей по 6, получим -2 = 2. Возведя обе части в квадрат, найдем, что 4 = 4. Значит, 2 х 2 = 8".

13. Определите, правильно ли сделаны следующие выводы:

1) "Если курение вредно, то следует бросить курить. Но некоторые курят без вреда здоровью. Следовательно, не стоит бросать курить".

2) "Если два числа равны друг другу, то их квадраты также равны. Квадраты этих чисел равны. Следовательно, заданные числа также равны".

3) "Иванов может учиться на психологическом, юридическом или экономическом факультете. Он не учится ни на психологическом, ни на юридическом факультете, следовательно, он учится на экономическом факультете".

14. Проверьте правильность рассуждения:

"Вода, например, не горит. А хотите знать почему? Да потому же, почему не горит зола. Вода сама получилась от горения" (М. Ильин).

15. Покажите нелогичность поведения Ходжи Насреддина:

"Однажды Ходжа надел черные одежды и вышел на улицу. Какие-то невежи спросили его: "Ходжа, что с тобой, ты весь в черном?" А Ходжа отвечал: "Умер отец моего сына, и я ношу по нем траур" (Анекдоты о Ходже Насреддине).

К правдоподобным относят все недедуктивные рассуждения, которых заключения в них не достоверны, а лишь вероятны в той или иной степени. Поэтому их называют также вероятностными рассуждениями. Термин "правдоподобность" означает сходство, подобие с истиной, и на этом основании в традиционной логике правдоподобные рассуждения резко противопоставлялись дедуктивным умозаключениям, которые мы рассматривали в предыдущей главе. В то время как дедуктивное умозаключение полностью переносит истинность посылок на заключение, и его результат оказывается достоверно истинным, посылки правдоподобного рассуждения лишь с той или иной степенью вероятности подтверждают заключение. Эта степень подтверждения не остается постоянной, а изменяется по мере установления новых фактов, подтверждающих или даже опровергающих заключение. Это обстоятельство показывает тесную связь правдоподобных рассуждений с гипотезами, предсказания которых имеют также вероятностный характер.

В современной логике исследование правдоподобных рассуждений ведется на основе понятий и методов исчисления вероятностей. Однако этим понятиям дается иная, а именно логическая интерпретация, ибо логика непосредственно изучает различные виды отношений между высказываниями. В дедуктивной логике такое отношение называют логическим следованием или выводом. Напомним, что сам термин "дедукция" в переводе на русский означает вывод. В наиболее знакомой нам форме правдоподобных рассуждений - в индукции - речь идет о таком логическим отношении, когда на основании изучения ограниченного числа случаев, фактов или явлений делают заключение обо всем их классе. Другими словами, здесь истинность посылок переносится на неисследованные факты, случаи, события. В результате заключение может оказаться и ошибочным. Как показывает сам термин "индукция", означающий наведение, заключение такого рассуждения лишь приближает нас к истине, облегчает ее поиски, наводит на нее, но отнюдь не гарантирует ее достижение. Никаких правил, аналогичных дедукции, в индуктивной логике не существует.

Несмотря на вероятностный характер своих заключений правдоподобные рассуждения по своей структуре, направленности движения мысли, области применения значительно отличаются друг от друга. В связи с этим возникает необходимость специального обсуждения наиболее распространенных форм правдоподобных рассуждений, к которым наряду с индукцией относятся умозаключения по аналогии и статистические выводы.

Говоря о вероятностном характере правдоподобных рассуждений, необходимо выяснить, о какой интерпретации вероятности в данном случае идет речь. В настоящее время почти общепринятой считается частотная, или статистическая, интерпретация вероятности, согласно которой вероятность определяется через относительную частоту в длинной последовательности испытаний. На практике установлено, что массовые случайные или повторяющиеся события обладают определенной устойчивой частотой, которая эмпирически принимается за вероятность таких событий. Такая интерпретация вероятности не подходит для характеристики правдоподобных рассуждений, поскольку последние имеют дело не с эмпирической действительностью, а ее отображением в логических рассуждениях. Разумеется, в реальных научных рассуждениях в физике, химии, биологии и социальных науках мы обращаемся как к статистической, так и к логической интерпретации. С помощью первой оцениваются объективные события изучаемого нами мира, делаются предсказания о степени вероятности их наступления. Логическая вероятность служит для оценки правдоподобности наших предположений и гипотез на основе имеющихся данных. К рассмотрению различных интерпретаций вероятности мы сейчас и обратимся.

Элементы математической теории вероятностей были введены еще в XVII в., когда ученые обратились к анализу азартных игр. Эти игры организованы таким образом, что шансы участников выиграть оказываются равновозможными. В самом деле, если игральная кость, представляющая собой тщательно изготовленный кубик, на каждой грани которого нанесены очки от 1 до 6, будет подбрасываться вверх, то выпадение каждой грани, т.е. любого числа очков, будет одинаково вероятным. Аналогично этому организована игра в рулетку или в карты. Во всех этих играх существует конечное число альтернатив и осуществление каждой из них является одинаково возможной. Поэтому для численного определения вероятности события (выпадения определенного количества очков при бросании кости, попадания шарика в сектор рулетки, получения карты и т.п.) необходимо подсчитать число всех равновозможных событий и число тех событий, которые благоприятствуют появлению ожидаемого события. Тогда отношение числа благоприятствующих событий к числу всех равновозможных и будет определять вероятность интересующего нас события. Так, выпадение "орла" при бросании монеты будет равно 1/2, так как равновозможными здесь являются как выпадение "орла", так и "решки"; благоприятствующим же случаем считается выпадение именно "орла". Аналогично этому вероятность выпадения 5 очков при бросании кости равна 1/6. В общей форме такое соотношение между благоприятствующими событиями и всеми равновозможными можно представить формулой: