Чтение онлайн

Рис. 2. Круги Эйлера для основных операций над множествами.

Множества, получаемые в результате операций над множествами A и В, изображены на рис. 2 заштрихованными областями. Непересекающиеся множества

изображаются неперекрывающимися областями, а включение множества соответствует области, целиком располагающейся внутри другой (рис. 3). Дополнение множества A (до U), т. е. множество A изображается той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга, изображающего A.

9. Отношения. В начале этого параграфа речь шла о том, что элементы множества могут находиться в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.

Рис. 3. Круги Эйлера для непересекающихся множеств, отношения включения и дополнения.

В самом общем смысле отношение означает какую-либо связь между предметами или понятиями. Отношения между парами объектов называют бинарными (двуместными). Выше же были рассмотрены два таких отношения - принадлежность (а A) и включение A B. Первое из них определяет связь между множеством и его элементами, а второе - между двумя множествами. Примерами бинарных отношений являются равенство (=), неравенства (< или ), а также такие выражения как «быть братом», «делиться (на какое-то число)», «входить в состав (чего-либо)» и т. п.

– 25 -

Для любого бинарного отношения можно записать соответствующее ему соотношение (для отношения неравенства соотношением будет х < у, для отношения «быть братом» соотношение запишется как «х брат у»). В общем виде соотношение можно записать как хАу, где А - отношение, устанавливающее связь между элементом х из множества Х (х X) и элементом y из множества Y (y Y). Ясно, что отношение полностью определяется множеством всех пар элементов (х, у), для которых оно имеет место. Поэтому любое бинарное отношение А можно рассматривать как множество упорядоченных пар (х, у).

Отношения могут обладать некоторыми общими свойствами (например, отношение включения и отношение равенства транзитивны). Определяя эти свойства и комбинируя их, можно выделить важные типы отношений, изучение которых в общем виде заменяет рассмотрение огромного множества частных отношений.

10. Функции как отношения. Функция f, ставящая каждому числу х (аргументу) в соответствие определенное число (значение функции) у=f(х), также является бинарным отношением.

Обобщая это понятие, можно считать функцией такое бинарное отношение f, которое каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие один и только один элемент из множества Y, т. е. хfу. При этом считают, что элементами множеств Х и Y могут быть объекты любой природы, а не только числа.

Функцией в таком общем понимании будет, например, соответствие между деталями какого-либо механизма и их массой (каждой детали соответствует ее масса), между человеком и его фамилией и т. п. В то же время такие отношения как неравенство (<) или «быть братом» функциями не являются, так как для каждого числа можно указать бесконечные множества превышающих его чисел, а человек может иметь несколько братьев или совсем их не иметь.

Обобщение понятия функции явилось одним из отправных моментов нового важного раздела современной математики - функционального анализа. Это понятие имеет огромное прикладное значение, так как позволяет рассматривать функциональные отношения между объектами любой природы.

Задачи и упражнения

1. Какие из приведенных ниже соотношений неверны и почему?

а) x {2, a, x}; б) 3 {1, {2, 3}, 4}; в) x {1, sinx}; г) {x, y} {a, {x, y}, b}.

2. Равны ли между собой множества А и В (если нет, то почему)?

а) A = {2, 5, 4}, B = {5, 4, 2};

б) A = {1, 2, 4, 2}, B = {1, 2, 4};

в) A = {2, 4, 5}, B = {2, 4, 3};

г) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, {5, 2}, 6};

д) A = { 1, {2, 5}, 6}, B = {1, 2, 5, 6};

3. Связаны ли множества А и В отношением включения (если да, то укажите, какое из них является подмножеством другого)?

– 26 -

а) A = {a, b, d}, B = {a, b, c, d};

б) A = {a, c, d, e}, B = {a, e, c}

в) A = {c, d, e}, B = {c, a}

4. В каких отношениях народятся между собой следующие три множества:

A = {1,3}; B — множество нечетных положительных чисел; C — множество решений уравнения x2 — 4x + 3 = 0?

5. Образуйте множество праздничных дней 1975 г. Пересекается ли это множество с множеством воскресных дней того же года? Если да, то запишите элементы пересечения этих двух множеств.

6. К каким видам относятся следующие множества: A — множество конденсаторов в радиоприемнике; B — множество квадратов целых чисел; C — множество решений уравнения 2x — 3 = 0; D — множество деревьев на Луне?

7. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсума, запишите следующие его подмножества: A — четных чисел; B- нечетных чисел; C — квадратов чисел; D — простых чисел. В каких отношениях находятся эти подмножества?

8. Запишите множества, получаемые в результате следующих операций над множествами из задачи 7: A B, A B, A C, A D, C\A, C\D, C + D. Сформулируйте определяющие свойства каждого из полученных множеств.

9. Три прибора x, y, z сравнивают по двум показателям, причем выделяют тот из приборов, у которого данный показатель наилучший (случаи одинаковых показателей исключаются).

а) Образуйте множество U всевозможных исходов такого сравнения, обозначив элементы этого множества упорядоченными парами букв для приборов с наилучшими показателями (например, исход yx означает, что по первому показателю лучшим оказался прибор y, а по второму — прибор x).

б) Сколько элементов содержит множество всевозможных исходов сравнения m приборов по n показателям?

в) Перечислите элементы множеств возможных исходов, при которых прибор оказывается лучшим по первому показателю (A), по второму показателю (B), хотя бы по одному показателю (C), по обоим показателям (D), не является лучшим ни по одному показателю (E).

10. Для множеств A, B, C, D, E из задачи 9в дайте ответы на следующие вопросы:

а) Какие множества выражаются через объединение, дополнение, пересечение других множеств?

б) Какому множеству соответствует разность А \ В и каков его смысл?

в) Какие множества связаны между собой отношением включения?

г) Какому множеству соответствует дизъюнктивная сумма А+В и каков его смысл?

11. На примере множеств А и В из задачи 9в покажите справедливость соотношения A\B = A B и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.