Чтение онлайн

Поясним суть гёделевской схемы на примере. Рассмотрим утверждение S: «Это утверждение ложно». Оно приводит к противоречию. Действительно, если S,рассматриваемое как единое целое, истинно, то оно, согласно ему самому, должно быть ложным, а если Sложно, то ложно, что Sложно, в силу чего Sдолжно быть истинным. Гёдель заменил слово «ложно» словом «недоказуемо», превратив Sв утверждение S— «Это утверждение недоказуемо». Если утверждение недоказуемо, то утверждаемое им истинно. С другой стороны, если утверждение доказуемо, то оно ложно, или, в соответствии с обычной логикой, если утверждение истинно, то оно недоказуемо. Следовательно, утверждение истинно в том и только в том случае, если оно недоказуемо. Мы приходим не к противоречию, а к истинному утверждению, которое недоказуемо, т.е. неразрешимо.

Заготовив впрок неразрешимое утверждение, Гёдель построил арифметическое утверждение A,соответствующее метаматематическому утверждению «Арифметика непротиворечива», и доказал, что из Aследует G.Поэтому если бы Aбыло доказуемым, то и Gбыло бы доказуемым. Но так как Gнеразрешимо, Aнедоказуемо. Иными словами, утверждение Aнеразрешимо. Тем самым установлена невозможность доказать «внутренними средствами» (т.е. в рамках той же системы) непротиворечивость арифметики любым методом — с помощью любой системы логических принципов, представимой в виде арифметической системы.

На первый взгляд кажется, что неполноты можно было бы избежать, если ввести в формальную систему дополнительный логический принцип или математическую аксиому. Но метод Гёделя позволяет доказать, что если дополнительное утверждение допускает перевод на язык арифметики по предложенной Гёделем схеме (согласно которой символам и формулам мы ставим в соответствие некоторые числа — их гёделевские номера), то и в расширенной системе можно сформулировать неразрешимое утверждение. Иначе говоря, избежать неразрешимых утверждений и доказать непротиворечивость можно лишь с помощью логических принципов, «не отображаемых» в арифметику. Чтобы пояснить суть дела, воспользуемся аналогией (хотя и несколько неточной): если бы логические принципы и математические аксиомы были сформулированы на японском языке, а арифметизация Гёделя означала бы перевод на английский язык, то результаты Гёделя получались бы до тех пор, пока был бы осуществим перевод с японского на английский.

Таким образом, теорема Гёделя о неполноте утверждает, что ни одна система математических и логических аксиом, арифметизуемая тем или иным способом (например, так, как это сделал Гёдель), не позволяет охватить даже все содержащиеся в ней истины, не говоря уже о всей математике, поскольку любая система аксиом неполна. В любой аксиоматической системе существуют утверждения, недоказуемые в рамках данной системы. Истинность таких утверждений может быть установлена лишь с помощью неформальных рассуждений. Теорема Гёделя о неполноте, показавшая, что аксиоматизация имеет свои пределы, разительно отличалась от господствовавших в конце XIX в. представлений о математике как о совокупности аксиоматизируемых (и аксиоматизированных) теорий. Теорема Гёделя нанесла сокрушительный удар по всеобъемлющей аксиоматизации. Неадекватность аксиоматического подхода сама по себе противоречием не была; однако она явилась полной неожиданностью, поскольку математики, особенно формалисты, предполагали, что в рамках некоторой аксиоматической системы любое истинное в ней утверждение заведомо доказуемо. {139} Брауэр установил, что интуитивно воспринимаемые истины часто лежат далеко за пределами того, что было доказано в классической математике, а Гёдель доказал, что интуитивно воспринимаемые истины вообще выходят за рамки математического доказательства. По выражению Пауля Бернайса, ныне более разумно не столько рекомендовать аксиоматику, сколько предостерегать против ее переоценки. Разумеется, сказанное выше не исключает возможности появления новых методов доказательства, которые выходят за пределы допустимого логическими принципами, принятыми различными школами в основаниях математики,

Оба полученных Гёделем результата потрясли математику. Невозможность доказать непротиворечивость наносила смертельный удар прежде всего формалистской философии Гильберта, который не сомневался в успехе своего намерения в рамках метаматематики доказать непротиворечивость всей математики. Но результаты задевали далеко не только гильбертовскую программу. Гёдель доказал, что какой бы подход к математике на основе надежных логических принципов мы ни избрали, нам все разно не удается доказать непротиворечивость математики. Ни один из предложенных подходов к основаниям математики не был исключением. Это означало, что математика вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов, т.е. лишиться одной из основных своих особенностей, на которую претендовала еще сравнительно недавно. Положение осложнялось невозможностью доказать непротиворечивость: ведь все, о чем говорили математики, могло оказаться бессмыслицей, ибо теперь никто не мог гарантировать, что в будущем не возникнет противоречия. Случись такое и окажись противоречие неразрешимым — вся математика обратилась бы в прах. Действительно, одно из двух противоречивых утверждений должно быть ложным, а согласно принятой всеми математическими логиками концепции импликации (так называемой материальной импликации, о которой говорилось в гл. VIII), из ложного утверждения может следовать что угодно. Итак, математики работали под угрозой полного провала. Еще одни удар нанесла теорема о неполноте. И здесь больше всех пострадал Гильберт, хотя теорема Гёделя применима ко всем формальным подходам к математике.

Пусть большинство математиков и не высказывали своих надежд столь откровенно и уверенно, как Гильберт, но все они, несомненно, надеялись, что им удастся решить любую четко поставленную проблему. Например, к 30-м годам XX в. одним лишь попыткам доказать «последнюю» («великую») теорему Ферма (утверждающую, что при любом натуральном n > 2никакие три целых числа x, yи zне могут удовлетворять уравнению x n+ y n= z n) были посвящены сотни обширных и глубоких по содержанию работ. Но, может быть, постигшая их авторов неудача объяснялась неразрешимостью теоремы Ферма?

Теорему Гёделя о неполноте до некоторой степени можно рассматривать как отрицание закона исключенного третьего. Каждое утверждение мы считаем либо истинным, либо ложным. В современных основаниях математики это означает, что рассматриваемое утверждение доказуемо или недоказуемо с помощью законов логики и аксиом того раздела математики, к которому относится интересующее нас утверждение. Гёдель же доказал, что некоторые утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Следовательно, теорема Гёделя о неполноте в известной мере подкрепляет позиции интуиционистов, хотя те возражали против логических принципов совсем по другим причинам.

Непротиворечивость можно было бы считать доказанной, если бы в противовес подходу Гёделя в системе удалось обнаружить неразрешимое утверждение: ведь как мы уже установили, опираясь на свойства материальной импликации, если в системе имеется противоречие, то в ней можно доказать что угодно. Однако до сих пор обнаружить неразрешимое утверждение не удалось.

Гильберт не считал, что потерпел поражение. По своей натуре Гильберт был оптимистом и обладал поистине безграничной верой в мощь человеческого разума и его способность к познанию. Этот оптимизм придавал ему мужество и силы, мешая в то же время признать возможность существования неразрешимых математических проблем. Для Гильберта математика была областью человеческой деятельности, познанию в которой не существовало иных пределов, кроме возможностей таланта исследователя.

Гёдель опубликовал свои результаты в 1931 г., т.е. до выхода в свет первого (1934) и второго (1939) томов фундаментального труда Гильберта и Бернайса по основаниям математики [75]. В предисловии ко второму тому оба этих автора вынуждены были признать необходимость расширить используемые в метаматематике методы рассуждений. Гильберт и Бернайс включили в число допустимых методов трансфинитную индукцию. {140} Гильберт полагал, что новые принципы вполне могли бы быть интуитивно правильными и приемлемыми для всех. Он пытался развивать дальше это направление, но не пришел ни к каким новым результатам.

События, последовавшие за переломным 1931 г., еще более осложнили ситуацию и обрекли на неудачу любые попытки определить, что такое математика и какие результаты следует считать правильными. Мы упомянем лишь об одном таком событии, далеко не самом важном. Представителю гильбертовской школы Герхарду Генцену (1909-1945) удалось ослабить запреты на методы доказательства, допустимые в метаматематике Гильберта, в частности за счет использования трансфинитной индукции, и в 1936 г. он смог доказать непротиворечивость арифметики и отдельных разделов математического анализа.

Некоторые представители гильбертовской школы в основаниях математики приняли предложенное Генценом доказательство и отстаивали его. Эти формалисты утверждали, что работа Генцена не выходит за пределы интуитивно приемлемой логики. Итак, чтобы защитить формализм, понадобилось перейти от «финитной» логики Брауэра к «трансфинитной» логике Генцена. Противники метода Генцена с сарказмом замечали, что «приемлемая» логика оказывается уж слишком изощренной и что если непротиворечивость арифметики вызывает какие-то сомнения, то введение не менее сомнительного метаматематического принципа вряд ли в состоянии разрешить их. Использование трансфинитной индукции считалось спорным еще до того, как ее взял на вооружение Генцен, и некоторые математики приложили немало усилий, чтобы по возможности исключить трансфинитную индукцию из доказательств. Трансфинитная индукция не была интуитивно убедительным принципом. По выражению Вейля, подобного рода принципы снижают стандартный уровень доказательного рассуждения до такого состояния, когда суть доказываемого становится весьма расплывчатой.