Чтение онлайн

Соотношение между так называемой математической физикой и Analysis situs восходит к принципу гипотезы в понимании, предложенном Платоном и его Афинской академией, в частности, для последовательной систематизации подлинных работ Евклида. Точка зрения, которую здесь представляет автор этих строк, была сформулирована в знаменитой квалификационной диссертации Римана, на которую имелись ссылки выше.

Римановское понятие последовательного упорядочения физических пространственно-временных многообразий, упорядоченных по относительной математической мощности, определяет то, что именуется структурой гипотез. Понятие Analysis situs заключается, по отношению к формальной математической физике, в принципе упорядочения, лежащем в основе многообразия, представленного этой римановской структурой последовательно упорядоченных гипотез, многообразий «кривизны» более высокого порядка или более высокой мощности. Этот принцип есть то, что связано с понятием «высшей гипотезы» в диалогах Платона. Этот основополагающий принцип соответствует функциональным понятиям Analysis situs, введенным Лейбницем.

Рассмотрим эти взаимосвязи в русле зрения серии определений.

Каждое относительно жизнеспособное направление науки после XIV века начинается с того, что в период Золотого Возрождения утвердилось в качестве центрального принципа экспериментальной физической науки — подтверждения (посредством решающих измерений) естественных закономерностей, открытие которых опровергало шаблоны установившихся воззрений [28] . Во всех жизнеспособных направлениях современной науки развитие математики, соответствующей экспериментальной физике того периода, не проистекало из слепой веры в так называемые «натуральные числа»; ее источником была, как подчеркивалось в позиции Римана, классическая греческая геометрия: понятие постижимого, совершенствуемого, цельного, последовательного принципа, определяющего измерение протяженности в физическом пространстве-времени {6} . Только с точки зрения протяженности физического пространства-времени возможно установить, не подвела ли нас в очередной раз свойственная безграмотным слепая вера в простое подсчитывание.

Определяющей темой в экспериментальной физической науке является тема наглядно демонстрируемых аномалий — измеримых явлений, которые упорно воспроизводятся, бросая от имени вселенной высокомерный, непоколебимый вызов предполагаемым авторитетам. Именно явное указание на неявное значение таких аномалий отделяет классическую греческую науку, которая берет начало с деятельности платоновской Академии, от всех более ранних достижений эмпирической науки, прежде всего от эмпирической прото-науки Древнего Египта, существовавшей до падения Египта под влиянием того, что было впоследствии названо культом Исиды. Все, что сегодня достойно называться наукой, основывается на методе гипотезы, разработанном в диалогах Платона, в особенности в тех из них, которые мы сейчас признаем поздними{7}.

Сократический метод гипотезы Платона служит источником всей современной науки как первая из известных исчерпывающих попыток надежно перенести вопрос о знании в область платоновских идей. Это освобождает мысль человека от животной привычки опираться на чувственную достоверность и позволяет ему исследовать внутренний механизм познавательных процессов, регулирующих порождение тех концепций, которые высказываются в качестве тезисов или даже предполагаемого знания. Можно поставить типичный сократический вопрос: в чем состоят предположения, которые лежат в основе выбора определенных тезисов (суверенными) познавательными процессами индивидуального разума? Рассмотрим сейчас применение этого сократического метода в геометрии.

Кратко: результатом применения сократического метода к положениям [29] и предполагаемым доказательствам геометрии является множество определений, аксиом и постулатов такого типа, как, например, в «Началах» Евклида. Это множество взаимодействующих, основополагающих допущений составляет гипотезу. Следовательно, во всех своих проявлениях сократический метод Платона, в отличие от метода его оппонента Аристотеля, представляет собой тот же метод гипотезы, который был использован Лейбницем и затем положен в основу квалификационной диссертации Римана.

Сформулированный Николаем Кузанским четкий принцип экспериментальной физической науки, восходящий к трудам Платона, Архимеда и других, сосредоточен на применении экспериментальных методов измерения в качестве поддающихся обобщению средств проверки относительной достоверности двух взаимоисключающих гипотез относительно физической структуры нашей Вселенной. Какая гипотеза внутренне соответствует разрешению упорно не желающей исчезать экспериментальной аномалии? Понятие Гаусса о доступном обобщению экспериментальном принципе кривых поверхностей, мастерский экспериментальный метод, примененный коллегой Гаусса, Вильгельмом Вебером, и фундаментальные открытия принципа Бернхардом Риманом представляют венец реализации принципа экспериментальной физической науки Николая Кузанского вплоть до начала настоящего столетия.

Прогресс науки, если его рассматривать с этой многообещающей точки исторического отсчета, в каждом случае происходит как преодоление одного из двух типов заблуждений в рамках установившегося научного мнения: либо попросту ложного суждения, либо заблуждения, связанного с узостью господствующей гипотезы. В обоих случаях применим метод измерения в экспериментальной физической науке, разработанный Николаем Кузанским. Центральный принцип физической науки состоит в применении принципа измерения для проверки того, какая из представленных несовместимых гипотез (если таковая существует) отвечает, характерным образом, результатам соответствующего измерения в решающем эксперименте. Используя гауссов язык, мы измеряем кривизну многообразия физического пространства-времени, подразумеваемого соответствующей гипотезой [30] .

Таким образом Лейбниц высмеивал несостоятельность математических методов Рене Декарта и Исаака Ньютона, требуя введения, вместо этих методов, математики трансцендентной области {8} . Утверждение Лейбницем приоритета трансцендентной физики, а также предвосхищением и Иоганн Бернулли принципа физической относительности [31] ознаменовали накопление изменений в гипотезе, уход от упрощенческого вывода чисто алгебраической математики, происходящего из наивного прочтения гипотезы, которая лежит в основе евклидовой геометрии. Следующий принципиальный прорыв, осуществленный Риманом, был основан прежде всего на предшествующих работах Гаусса. Римановская революция в науке обязывает нас по-новому и значительно более глубоко осмыслить то, что именуется «структурами теорем», и в этом ее первостепенное значение.

Это открытие принципа, сделанное Риманом, открывает перед нами образ научного прогресса как последовательности разрывных переходов от одной гипотезы к другой, относительно более высокой. Для наглядности используется усовершенствованное евклидово представление о некотором фиксированном множестве взаимодействующих определений, аксиом и постулатов. Эта последовательность в целях экспериментального измерения обычно характеризуется модифицированной теоремой Пифагора, получившей ту общую форму, которая связана с римановской революцией в понимании гипотетических оснований геометрии. Эта модифицированная теорема Пифагора рассматривается с позиции гауссова обобщения понятия кривых поверхностей и соответствующих ссылок на развитие Гауссом, в целях экспериментальных измерений, понятия биквадратных вычетов сверх первоначального изложения в его «Disquisitiones arithmeticae» [32] .

Таким образом, на примере и Римана, и Платона, представление об упорядоченной последовательности все более и более мощных гипотез открывает перед нами следующие образы.

Мы начинаем с того дополненного понятия о евклидовой гипотезе, которое дает нам открытие Римана. Затем мы определяем дедуктивную форму евклидовой геометрии как некоторую структуру теорем, которая, предположительно, может быть неограниченно развернута и в которой связь между теоремами определяется общим для их всех отсутствием дедуктивной несовместимости друг с другом и всеми элементами множества определений, аксиом и постулатов соответствующей гипотезы. Далее, сопоставляя пару различающихся гипотез, мы рассуждаем в плане сопоставления взаимных отображений [33] множеств определений, аксиом и постулатов, из которых состоят, соответственно, обе гипотезы.

Определившись с первоначальным сравнением пар гипотез, мы должны затем выйти за рамки математического дедуктивного формализма. Мы стремимся понять, какие измеримые физические различия имеются между эффективным поведением физических систем, соответствующих каждой из сопоставляемых нами формальных гипотез. Релятивистская точка зрения, вытекающая из определений изохронизма-таутохронизма и связанного с этим эксперимента с брахистохроной, в свете работ Гюйгенса-Лейбница-Бернулли конца семнадцатого века, указывает нам нужное направление пути — направление, которому последовал Риман. Нам становится ясна эпистемологическая значимость и важность «относительной кривизны физического пространства-времени»; это направляет нас к нужным понятиям и проектированию соответствующих экспериментов, которые имеют непосредственное отношение к сопоставлению гипотез о физическом пространстве-времени.