Чтение онлайн

Это дает новое число 27800…, которое отличается от первого числа (их первые цифры не совпадают), от второго числа (их вторые цифры не совпадают), от третьего, четвертого, от пятого и т.д.

Перемещаясь подобным образом по диагонали, мы создаем новое число. Этот процесс обеспечивает отличие нового числа от всех чисел в списке. Оно отлично от всех чисел в списке, оно не может входить в список, но мы уже предположили, что наш список содержит все вещественные числа. В конце концов, это был полный список рассаженных чисел. Имеет место противоречие. Безупречный список «рассадки» существовать не может.

Вещественные числа составляют большую бесконечность, чем числа рациональные. Термин для бесконечности такого типа —

1, это первая несчетная бесконечность. (Технически термин для бесконечности вещественной прямой — С, или бесконечность-континуум. Математики многие годы пытались определить, действительно ли мощность С — 1. В 1963 году математик Пол Коэн разрешил эту загадку, так называемую континуум-гипотезу: она недоказуема и не недоказуема в силу теоремы неполноты Гёделя. Сегодня большинство математиков воспринимают континуум-гипотезу как верную, хотя при некоторых исследованиях не-Канторовых трансфинитных чисел она оказывается неверна.) В уме Кантора существовало бесконечное число бесконечностей, одна в другой — трансфинитных чисел. 0 меньше, чем 1, которая, в свою очередь, меньше 2, которая меньше 3 и т.д. На вершине цепи располагается предельная бесконечность, поглощающая все прочие, — Бог, бесконечность, не поддающаяся никакому пониманию.

К несчастью для Кантора, не все разделяли его видение Бога. Леопольд Кронекер был видным профессором Берлинского университета и одним из учителей Кантора. Кронекер верил в то, что Бог никогда не допустил бы существования такой гадости, как иррациональные числа и тем более бесконечно увеличивающегося числа бесконечностей, образующих нечто вроде матрешки. Целые числа символизировали чистоту Бога, в то время как иррациональные числа и другие странные разновидности чисел представляли собой скверну — измышления несовершенного человеческого ума. Худшими из них были Канторовы трансфинитные числа.

Возмущенный взглядами Кантора, Кронекер обрушил на него ядовитую критику и очень затруднил публикацию его работ. Когда Кантор в 1883 году претендовал на должность в Берлинском университете, ему было отказано. Пришлось удовольствоваться должностью профессора гораздо менее престижного университета в Галле. Вероятно, виноват в этом был влиятельный Кронекер. В том же году Кантор написал опровержение нападок Кронекера. Затем в 1884 году Кантор пережил первый нервный срыв, приведший к депрессии.

Слабым утешением для него послужило бы то, что его работы стали основой целой новой области математики: теории множеств. Используя теорию множеств, математики открыли не только числа, о которых мы ничего не знаем; они разработали неслыханные до того понятия — бесконечные бесконечности, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить, как обычные числа. Кантор открыл целую новую вселенную чисел. Немецкий математик Давид Гильберт сказал о нем: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Однако для Кантора признание опоздало: весь остаток жизни он лечился в психиатрических больницах и в 1918 году умер в одной из них.

В битве между Кронекером и Кантором Кантор в конце концов победил. Его теория показала, что дорогие Кронекеру целые числа — и даже числа рациональные — это ничто. Они — бесконечный ноль.

Рациональных чисел бесконечно много, и между любыми двумя числами по вашему выбору, как бы близко друг к другу они ни располагались, все еще находится бесконечное множество рациональных чисел. Они повсюду. Однако канторовская иерархия бесконечностей говорила о другом: она показывала, как мало места рациональные числа занимают на числовой оси.

Для такого сложного подсчета требуется остроумная уловка. Измерить объекты неправильной формы очень трудно. Например, представьте себе, что у вас пятно на деревянном полу. Какую площадь занимает пятно? Это совсем не очевидно. Если пятно имеет форму круга, квадрата или треугольника, площадь легко вычислить: просто возьмите рулетку и измерьте радиус или высоту и основание. Однако не существует формулы для вычисления площади пятна в форме амебы. Впрочем, существует другой способ.

Возьмите прямоугольный коврик и положите его поверх пятна. Если коврик покрывает пятно полностью, значит, пятно меньше коврика; если площадь коврика — квадратный фут, то площадь пятна меньше квадратного фута.

При использовании ковриков меньшего размера аппроксимация делается лучше и лучше. Предположим, что пятно покрывается пятью ковриками размером в одну восьмую квадратного фута. Значит, площадь пятна не больше пяти восьмых квадратного фута, что меньше нашей оценки при помощи коврика в один квадратный фут. По мере того как вы берете все меньшие и меньшие коврики, покрытие делается все лучше и лучше, и их общая площадь все больше приближается к истинному размеру пятна. На самом деле вы можете определить площадь пятна как предел площади ковриков, когда площадь каждого из них стремится к нолю (рис. 43).

Рис. 43. Покрытие пятна ковриками

Проделаем то же самое с рациональными числами, но на этот раз наши коврики — это наборы чисел. Например, число 2,5 «покрывается» ковриком, который включает, скажем, все числа между 2 и 3: это коврик размера 1. Использование такого рода коврика для покрытия рациональных чисел имеет некоторые весьма странные последствия, как показал Кантор с помощью своей карты «рассадки». Карта «рассадки» охватывает все рациональные числа — соотносит каждое из них с его «местом», так что их можно пересчитать одно за другим по порядку, основываясь на номере их «места». Возьмите первое попавшееся рациональное число и поместите его на числовую ось. Накройте его ковриком размера 1. Этим ковриком будет накрыто множество других чисел, но об этом мы можем не беспокоиться. Пока накрыто наше первое число, все в порядке.

Теперь возьмем второе число. Накроем его ковриком размера 1/2. Возьмем третье число и накроем его ковриком размера 1/4 и т. д. Продолжая процесс до бесконечности, поскольку каждое рациональное число присутствует на карте «рассадки», получим, что каждое рациональное число покрыто ковриком. Какова же суммарная площадь ковриков? Это наша старая приятельница, ахиллесова сумма. Складывая площади ковриков, мы получим сумму 1 + 1/2 + 1/4+ 1/8 + … + 1/2n, которая стремится к 2, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем накрыть бесконечное множество рациональных чисел на числовой оси набором ковриков, общая площадь которых равна 2. Это означает, что все рациональные числа оси можно загнать на отрезок длиной меньше двух единиц пространства.

Как мы поступали в случае пятна, сделаем размеры ковриков еще меньше, чтобы получить лучшую аппроксимацию. Если вместо того, чтобы начинать с коврика размера 1, начать с коврика размером в 1/2 , то общая сумма площадей окажется равной 1. Значит, рациональные числа в сумме занимают меньше одной единицы пространства. Если мы начнем с первого коврика размера 1/1000 , все коврики займут меньше 1/500 единицы пространства, и все рациональные числа уместятся меньше чем на 1/500 единицы пространства. Если мы начнем с коврика размером в один атом, мы сможем накрыть все рациональные числа на числовой оси ковриками, которые в сумме имеют площадь меньшую, чем атом. Однако даже такие крохотные коврики, что могут все вместе уместиться в одном атоме, накроют все рациональные числа (рис. 44).