Открытие без границ. Бесконечность в математике
Шрифт:
Обязательным условием публикации были новизна и оригинальность работы. Ещё одним интересным моментом стало то, что в этих журналах впервые стали выпускаться совместные работы, а не труды, выполненные исключительно силами одного учёного, как было до сих пор.
СИЦИЛИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
Любопытно, что одно из первых математических сообществ появилось в городе Палермо, и центром его стал журнал Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, основанный итальянским математиком Джованни Баттистой Гуччиа (1855–1914). Обосновывая авторитетность нового математического общества, Гуччиа отмечал, что оно появилось в стране с «выдающейся математической родословной». Гуччиа также учредил несколько премий, и это привело к тому, что свои работы в его журнал стали отправлять выдающиеся математики. За короткое время журнал неожиданно получил международное признание, заняв одно из первых мест в списках международных математических сообществ.
Джованни Баттиста Гуччиа
Основной целью математических сообществ был максимальный охват территории, регулярное издание математических журналов и предоставление необходимых для их распространения средств. Однако время показало, что без поддержки официальных учреждений решить эти задачи невозможно. Научные сообщества неизбежно попадали под определённое влияние общества и политических элит, так как они стали частью культурной идентичности государств. С одной стороны, правительственная поддержка научных сообществ очень важна, с другой — международное научное сотрудничество могло оказаться под угрозой по политическим причинам. Кроме того, органы, контролирующие допуск работ в печать, могли быть не так объективны, как этого хотелось учёным. Время показало, что математические сообщества препятствуют публикации некоторых новаторских работ, которые нарушают установленные каноны, не всегда имеющие отношение непосредственно к науке. Показательно, что две трети всех статей по математике, вышедших в 1900 году, были опубликованы не в математических журналах.
Среди первых научных сообществ, которые начали появляться уже в середине XIX века, наиболее важными (в порядке появления) были Московское математическое общество (1864), Лондонское математическое общество (1865), Французское математическое общество (1872), математический кружок Палермо (1884), Американское математическое общество (1888), Немецкое математическое общество (1890).
НЕОСМОТРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК
Научный журнал, созданный Генри Ольденбургом в 1665 году, издаётся до наших дней. Его издание прерывалось только дважды: в первый раз — из-за эпидемии чумы в Лондоне, во второй раз — из-за болезни Ольденбурга, всё своё время посвящавшего работе. Его энтузиазм был так велик, что каждую неделю он писал для журнала пять колонок. Ольденбург считал, что наука не знает границ, поэтому продолжал публиковать свои статьи даже во время войны. Но в те времена это было очень неосмотрительно, и Ольденбург на три месяца был заключён в Лондонский Тауэр.
Противоречивость бесконечности
Кронекер как-то сказал: «Бог создал первые десять чисел, всё остальное создал человек», выразив тем самым, сколь велика заслуга математики. По его мнению, всё в математике должно было строиться из известных, чётко определённых элементов и за конечное число этапов. Иными словами, Кронекер не хотел ничего слышать об актуальной бесконечности. Как-то раз он заявил, что от бесконечности следует отказаться как от
«…пагубной бессмыслицы, унаследованной от древней философии и запутанной теологии. Без неё мы можем достичь всего, чего захотим…»
Кронекер был явным последователем финитизма, а также операционизма, в котором не признаются никакие рассуждения, не подкреплённые чётко определёнными математическими операциями. Он заявил, очевидно, имея в виду труды Кантора, что математике необходим контроль со стороны признанных учёных, так как
«богатый практический опыт решения полезных и интересных задач даст математике новый смысл и новый импульс. Однобокие и интроспективные умозрительные заключения не дают плодов».
Следует учитывать, что Кронекер был одним из редакторов журнала Крелле, поэтому неудивительно, что в 1877 году он отклонил все рукописи, переданные Кантором для публикации в этом журнале. Расхождение во взглядах переросло в личную неприязнь, и Кронекер публично назвал Кантора ренегатом, шарлатаном и совратителем учащейся молодёжи.
Не будем забывать, что Кантор был лучшим учеником Кронекера, естественно, что он очень болезненно переживал подобное отношение учителя и получил глубокую психологическую травму, от которой ему так и не удалось оправиться.
Дедекинд
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916), который родился в Брауншвейге и был четвёртым ребёнком в зажиточной семье, большую часть жизни посвятил математическим исследованиям. Он был алгебраистом и стремился сформировать фундаментальную основу анализа, для чего в качестве базы выбрал множества и отображения множеств.
Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над определением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств, были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над большой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непрерывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, — это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.
На этой памятной марке, выпущенной в честь Дедекинда, справа изображена формула разложения числа на простые множители.
В 1872 году, находясь на отдыхе в Швейцарии, Кантор познакомился с Дедекиндом — одним из немногих математиков того времени, если не сказать единственным, с которым он поддерживал близкие отношения, основанные на взаимном доверии и уважении. Рождение теории множеств можно чётко проследить, если ознакомиться с их перепиской в 1874–1884 годах. Любопытно, что в большинстве наиболее важных статей Дедекинд почти не использует понятие «множество»: он считал, что Кантор уже совершил наиболее важные открытия в этой области, поэтому больше внимания уделял понятию отображения.
В 1881 году на кафедре математики Университета Галле освободилась должность преподавателя, и Кантор предложил кандидатуру Дедекинда, написав в Министерство образования письмо, в котором подчеркнул положительные качества своего друга. Однако, несмотря на настойчивые просьбы Кантора, Дедекинд отказался от этой должности — у него совершенно отсутствовали какие-либо амбиции и желание занять высокое место в научных кругах. В течение тридцати лет Дедекинд преподавал в Карловском коллегиуме, где работали его отец и дед. К тому же чиновники министерства отдали должность преподавателю, рекомендованному Кронекером.
В результате отношения между Кантором и Дедекиндом остыли, и переписка между ними прекратилась на семнадцать лет. Лишь в 1899 году по инициативе Кантора учёные вновь начали общаться.
Миттаг-Леффлёр
В то самое время, когда отношения между Кантором и Дедекиндом прекратились, на горизонте появилась новая личность, которой суждено было получить признание в научном мире и поддержать Кантора в один из тяжелейших периодов его жизни.
Этим человеком был Магнус Гёста Миттаг-Леффлёр (1846–1927) — математик шведского происхождения, известный не собственными открытиями, а прежде всего благодаря распространению трудов других великих математиков. Брак с богатой наследницей позволил ему найти необходимые средства для учреждения в 1882 году нового научного журнала Acta Mathematica, который завоевал значительный авторитет в международном научном сообществе. Кантор и Миттаг-Леффлёр быстро нашли общий язык, и последний перевёл большинство статей, переданных ему Кантором.