Чтение онлайн

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации:

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл›Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся значимой.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл<Fкрит, то с вероятностью (1-а) основная гипотеза о незначимости коэффициентов модели регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и, следовательно, модель регрессии в целом признаётся незначимой.

Коэффициент детерминации может быть рассчитан не только как квадрат линейного коэффициента парной корреляции или через теорему о разложении общей дисперсии результативной переменной на составляющие, но и через теорему о разложении сумм квадратов результативной переменной.

Теорема. Сумма квадратов разностей между значениями результативной переменной и её средним значением по выборочной совокупности может быть представлена следующим образом:

где

– общая сумма квадратов (Total Sum Square – TSS);

– сумма квадратов остатков (Error Sum Square – ESS);

– сумма квадратов объяснённой регрессии (Regression Sum Square – RSS).

Представим данную теорему в векторной форме:

Общую сумму квадратов можно представить следующим образом:

Если в модель регрессии не включается свободный член 0, то данное разложение также остаётся верным.

Парный коэффициент детерминации может быть рассчитан через теорему о о разложении сумм квадратов результативной переменной по следующим формулам:

или

Одна из задач эконометрического моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого явления или процесса в будущем. В большинстве случаев данная задача решается на основе регрессионных моделей, с помощью которых можно спрогнозировать поведение результативной переменной в зависимости от поведения факторных переменных.

Рассмотрим подробнее процесс прогнозирования для линейной модели парной регрессии.

Точечный прогноз результативной переменной у на основе линейной модели парной регрессии при заданном значении факторной переменной хm будет осуществляться по формуле:

ym=0+1xm+m.

Точечный прогноз результативной переменной ym с доверительной вероятностью или (1–а) попадает в интервал прогноза, определяемый как:

ym–t*(m)<= ym<= ym+t*(m),

t – t-критерий Стьюдента, который определяется в зависимости от заданного уровня значимости a и числа степеней свободы (n-2) для линейной модели парной регрессии;

(m) – величина ошибки прогноза в точке m.

Для линейной модели парной регрессии величина ошибки прогноза определяется по формуле:

где S2 – несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки линейной модели парной регрессии.

Рассмотрим процесс определения величины ошибки прогноза (m).

Предположим, что на основе выборочных данных была построена линейная модель парной регрессии вида:

Факторная переменная х в данной модели представлена в центрированном виде.

Задача состоит в расчёте прогноза результативной переменной у при заданном значении факторной переменной хm, т. е.

Математическое ожидание результативной переменной у в точке m рассчитывается по формуле:

Дисперсия результативной переменной у в точке m рассчитывается по формуле:

где D(0) – дисперсия оценки параметра 0 линейной модели парной регрессии, которая рассчитывается по формуле:

Следовательно, точечная оценка прогноза результативной переменной у в точке m имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

Если в формулу дисперсии результативной переменной у в точке m вместо дисперсии G2 подставить её выборочную оценку S2, то получим доверительный интервал для прогноза результативной переменной у при заданном значении факторной переменной хm:

где выборочная оценка генеральной дисперсии S2 для линейной модели парной регрессии рассчитывается по формуле:

В этом случае прогнозный интервал можно преобразовать к виду:

что и требовалось доказать.

Построение модели множественной регрессии является одним из методов характеристики аналитической формы связи между зависимой (результативной) переменной и несколькими независимыми (факторными) переменными.

Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.

Общий вид линейной модели множественной регрессии:

yi=0+1x1i+…+mxmi+i,

где yi – значение i-ой результативной переменной,

x1i…xmi – значения факторных переменных;

0…m – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;