Чтение онлайн

Работа в семинаре Д. Ф. Егорова велась в нескольких параллельных группах. Первая, самая элементарная, занималась числовыми последовательностями и рядами, вторая группа (я входил именно в неё) называлась: последовательности функций. Здесь изучались работы Осгуда, Асколи, Арцела о равномерной и неравномерной сходимости, а также самое начало классификации Бэра. Третья группа была посвящена расходящимся рядам, четвёртая — сходимости в среднем и гильбертову пространству, пятая — сходимости по мере и различным дополнительным вопросам, в частности, здесь была и теорема Егорова, доказанная два года назад и примыкающие к ней новейшие результаты.

Каждая группа готовила один или два доклада, которые делались на соответствующем пленарном собрании семинара. Семинар Д. Ф. Егорова занимал видное место в математической жизни Москвы, на его пленарные собрания приходили, как правило, все математики Москвы, активно занимавшиеся или следившие за развитием науки и собрания эти в некотором роде конкурировали с собраниями Московского математического общества. Собрания отдельных групп происходили на квартире у Дмитрия Федоровича и имели, так сказать, камерный, интимный характер. Мой доклад на общем собрании семинара был посвящён классификации Бэра, и с него и начались мои систематические занятия этим кругом вопросов: я принялся за серьёзное изучение знаменитого большого мемуара Лебега о функциях, представимых аналитически, и за размышления, с ним связанные, например, об условиях, когда последовательность функций данного класса имеет предельную функцию не большего класса.

В моей жизни я как следует прочитал очень небольшое число математических книг и работ. Среди них были: уже упоминавшиеся книжка Бэра

Ещё с лета 1913 г. я привык заниматься математикой под музыку моих братьев, пианиста Сергея и скрипача Ивана; я забирался в комнату, в которой кто-нибудь из них разучивал свою музыку и мне очень нравилось заниматься там. В это лето мои братья разучивали вместе первую скрипичную сонату Грига, и не только много играли каждый свою партию, но много репетировали её вместе и это было мне особенно приятно. В результате все мои первые занятия дескриптивной теорией оказались для меня связанными с первой скрипичной сонатой Грига. Но ещё гораздо большую роль сыграла в моей жизни третья скрипичная соната Грига, которую мои братья разучивали летом следующего 1915 г.

Всё моё настроение летом 1914 г. находилось под впечатлением сначала надвигавшейся, а потом разразившейся войны. Я её воспринимал как страшную трагедию для всего человечества. Как трагедию я воспринимал прежде всего самую неспособность так называемых великих держав предотвратить разразившееся мировое побоище. Лето 1914 г. было засушливое, кругом горели леса и запах гари вносил ещё и свой дополнительный оттенок в общее и без того мрачное настроение.

Летом 1915 г. я взял себе очень хорошо оплачиваемый частный урок. Мои родители сначала возражали против этого урока, но я настоял на своём. У меня было твёрдое правило: деньги, получаемые от родителей, я тратил только на то, чтобы жить в Москве в хорошей комнате и иметь безукоризненно доброкачественный стол. Все остальные свои расходы: на одежду, на книги, на развлечения (т. е. на театральные и на концертные билеты, составлявшие в общем не такую уж малую сумму — я не пропускал ни хороших концертов, ни хороших театральных постановок) считал необходимым покрывать из собственного заработка и поэтому в студенческие годы всегда давал частные уроки.

Летом 1915 г. я готовил одного молодого человека на аттестат зрелости и для этого должен был через день ездить из Ярцева в Смоленск и заниматься часа три с моим учеником, который был всего на два года моложе меня. Летом 1915 г. хлынула волна беженцев из западных губерний России, и Белорусская (тогда называвшаяся Александровской) железная дорога, на которой лежит Ярцево, была крайне переполнена, а движение на ней сделалось очень нерегулярным. Случалось, что поезд, которым я со своего урока должен был возвращаться к себе домой в Михеево, вместо восьми часов вечера отходил в час ночи и соответственно приходил в Ярцево в третьем часу утра. В этих случаях я остаток ночи проводил на сеновале и потом сразу шёл купаться. Такие утра мне очень нравились.

Вообще же лето 1915 г. было одним из замечательнейших в моей жизни. Оно представляло собой один из моментов наивысшего жизненного подъёма, который я когда бы то ни было испытал. Дело в том, что в это лето я получил свой первый действительно значительный научный результат: я решил проблему мощности борелевских множеств и построил в связи с этим так называемую А– операцию. Если иметь в виду не построение целых математических теорий, а именно отдельные результаты, то мой результат о борелевских множествах был не только моим первым, но, вероятно, и одним из самых значительных за всю мою жизнь. Его субъективное переживание мною, переживание самого приведшего к нему творческого акта, или, вернее, творческого процесса (ибо длился он всё лето) было тоже ни с чем не сравнимо. Я уже сказал, что мои братья в это лето разучивали третью скрипичную сонату Грига (c-moll); я занимался под эту сонату и она таким образом

Всё, что было со мною в это лето — и напряжённые размышления, и внезапные интуитивные озарения, и переполненные поезда, и купанье на рассвете, и соната Грига — всё сливалось в одно, и этим одним была наполнена до краёв чаша жизни и переживание радости этой жизни и того восторга, который влила в неё математика, которую я уже не только воспринимал, но и активно начал строить.

Задача решить вопрос о мощности борелевских множеств была мне поставлена Н. Н. Лузиным весною 1915 г., после того как я передоказал уже известный результат о мощности всех множеств типа F.

С Н. Н. Лузиным я познакомился осенью 1914 г., после того как он вернулся из длительной научной заграничной командировки. О моём чрезвычайно сильном впечатлении от первой встречи с Н. Н. Лузиным рассказано в моей лекции «О призвании учёного», изданной отдельной брошюрой и перепечатанной во втором томе моих сочинений 1.

Взявшись за решение поставленной мне Лузиным общей проблемы, я начал с частного случая борелевских множеств низших классов и стал доказывать, что всякое несчётное множество типа F. (я их называл множествами четвёртого класса) имеет мощность континуума. При решении задачи в этом частном случае уже полностью выявилась и общая идея. Фактически было доказано, что всякое множество упомянутого класса может быть получено применением A– операции к замкнутым множествам и затем было доказано, что всякое несчётное A– множество содержит совершенное множество. Однако когда я сообщил свою идею доказательства Н. Н. Лузину, он отнёсся к ней с недоверием и стал меня убеждать в том, что мой план доказательства ни к чему, кроме множеств F, привести не может. Любопытно, что когда много лет спустя, в 1923 г.Урысон и я стали излагать A– операцию (ставшую к тому времени, как нам казалось, общим достоянием теории множеств) известному математику Каратеодори, издавшему перед тем свою книгу по теории множеств и функций, то Каратеодори стал с полной уверенностыо доказывать нам, что всякое А– множество в действительности есть множество типа F. Значит, при всей простоте понятия A– операции было в нём что-то, создававшее какие-то психологические трудности при первом с ним ознакомлении. Конечно, вполне возможно и то, что моё первое изложение идеи доказательства было недостаточно чётким и оправдывало скептицизм Н. Н. Лузина. Но, так или иначе, скептицизм этот был полный и Н. Н. Лузин рекомендовал мне в отмену моего плана решать задачу в противоположном смысле и пытаться строить борелевское множество мощности 0. К счастью, я не послушался на этот раз своего учителя. К концу лета мне удалось провести своё доказательство в полной общности и во всех деталях. Первый человек, которому я его подробно рассказал и который проверил его со всей самой придирчивой строгостью, был В. В. Степанов, как никто умевший критически разбирать доказательства в любой известной тогда области математики. Затем доказательство было рассказано И. И. Привалову

С того самого времени, когда Лебег в своём знаменитом мемуаре 1905 г. провозгласил, что в математике фактически не существует множеств, кроме борелевских, вопрос об их мощности воспринимался как один из центральных во всей теории множеств и его решение рассматривалось как большое открытие. На мой доклад 13 октября 1915 г. в студенческом математическом кружке пришли даже такие маститые профессора как Л. К. Лахтин и Б. К. Млодзеевский. Были на моём докладе Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также и все молодые математики, начиная с В. В. Степанова и И. И. Привалова и все интересующиеся математикой наши студенты. Среди них был и П. С. Урысон, только что поступивший в университет. С ним я тогда впервые познакомился. Впервые я познакомился в этот день и с В. К. Серпинским. Он уже находился тогда в Москве и тоже пришёл на мой доклад в студенческом математическом кружке. Суслина я в эту осень увидел впервые тоже на своём докладе. Естественно, что как только мы наконец встретились, я рассказал ему во всех подробностях о своих результатах. Мы стали без конца говорить о связанных с ними вопросах. Часто в наших разговорах принимал участие и В. В. Степанов, всегда живо откликавшийся на всё, что происходило в тогдашней московской математике. Тогда же именно Суслин предложил назвать новую построенную мною теоретико-множественную операцию А– операцией, а множества, получающиеся её применением к замкнутым множествам, А– множествами. Он подчеркнул при этом, что предлагает эту терминологию в мою честь по аналогии с борелевскими множествами, которые уже тогда стало принято называть В– множествами.

Эта касающаяся меня терминологическая деталь была по живым следам отмечена в статьях М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, посвящённых истории Московской математической школы, а позже и в статье Л. В. Келдыш. Мне этот вопрос о моём приоритете в данном случае никогда не был безразличен, ведь он касался моего первого и (может быть, именно поэтому) самого дорогого мне результата.

Много лет спустя Н. Н. Лузин стал называть A– множества аналитическими множествами и стал, вопреки хорошо известным ему фактам, утверждать, что термин A– множество есть лишь сокращение от «аналитические множество». Но к этому времени мои личные отношения с Н. Н. Лузиным, когда-то глубокие и проникновенные, были, по существу, утрачены.

Как только было доказано, что всякое B– множество является A– множеством, естественно возник вопрос, не является ли обратно всякое A– множествоB– множеством. Именно об этом вопросе и шла, конечно, речь в беседах, которые тогда велись в Москве в связи с моей работой. Легко было доказать, что всякое A– множество есть пересечение B– множеств, взятых в числе 1, или что всякое множество, дополнительное к A– множеству, есть сумма 1 борелевских слагаемых. Это знали и я, и Суслин и, конечно, Н. Н. Лузин. Весь вопрос был в том, не обрывается ли этот процесс трансфинитного суммирования уже на счётном шаге. Я посвятил всю зиму 1915–1916 гг. и всё следующее лето доказательству того, что этот обрыв действительно происходит. Мои чрезвычайно упорные размышления прекратились только тогда, когда ранней осенью 1916 г. стало известным, что Суслин этим же летом построил пример А– множества, не являющегося В– множеством и этим открыл новый этап в развитии всей дескриптивной теории множеств.