Чтение онлайн

Теории и модели самоорганизации, описанные в предыдущих главах, имеют дело с весьма сложными системами, состоящими из тысяч взаимозависимых химических реакций. За последние три десятилетия появилось множество новых концепций и технологий для работы с феноменами такой огромной сложности; на базе этих концепций в настоящее время начинает формироваться согласованная математическая структура. И все же четкого названия этой новой математики пока нет. По научно-популярной литературе она известна как математика сложных систем, более технические названия звучат как теория динамических систем, системная динамика, комплексная динамика или нелинейная динамика. Вероятно, наиболее широко используется термин теория динамических систем.

Чтобы избежать путаницы, полезно помнить, что теория динамических систем не относится к физическим феноменам, это — математическая теория, концепции и методы которой применимы к достаточно широкому диапазону явлений. То же касается теории хаоса и теории фракталов — важных разделов теории динамических систем.

Новая математика (мы рассмотрим это подробно) является математикой взаимоотношений и паттернов. Имея скорее качественный, чем количественный характер, она тем самым обусловливает сдвиг акцента, что характерно для системного мышления — от объектов к взаимоотношениям, от количества к качеству, от материи к паттерну. Развитие мощных высокоскоростных компьютеров сыграло решающую роль в освоении сложных систем. Математики сегодня могут решать сложные уравнения, которые раньше не поддавались решению, и прослеживать решения в виде кривых на графике. Таким способом они обнаружили новые качественные паттерны поведения этих сложных систем, новый уровень порядка, лежащий в основе кажущегося хаоса.

Классическая наука

Чтобы оценить новизну новой математики сложных систем, представляется интересным сопоставить ее с математикой классической науки. Наука, в современном понимании этого термина, появилась в конце XVI века, когда Галилео Галилей первым начал ставить систематические эксперименты, используя математический язык для формулирования открытых им законов природы. В те времена науку все еще называли «натуральной философией», и когда Галилей говорил «математика», он имел в виду геометрию. «Философия, — писал он, — записана в той Великой книге, которая всегда перед нашим взором; но мы не сможем понять ее, если сначала не выучим ее язык и те символы, которыми она написана. Этот язык — математика, а символы — это треугольники, окружности и другие геометрические фигуры»1.

Галилео унаследовал эту точку зрения от философов античной Греции, которые были склонны геометризировать все математические проблемы и искать ответы в рамках геометрических фигур. Есть свидетельства, что над входом в Академию Платона, главную греческую школу науки и философии на протяжении девяти столетий, была высечена надпись: «Да не войдет сюда несведущий в геометрии».

Несколько веков спустя совершенно иной подход к решению математических проблем, известный как алгебра, был разработан в Персии мусульманскими философами, которые, в свою очередь, переняли его у индийских математиков. Название происходит от арабского al-jabr («связывать вместе») и относится к процессу сокращения числа неизвестных величин путем связывания их вместе в уравнения. В элементарной алгебре буквы в уравнениях — взятые обычно из начала алфавита — означают различные постоянные числа. Хорошо известным примером, который большинство читателей помнит со школьной скамьи, служит уравнение

В высшей алгебре рассматриваются взаимосвязи, называемые функциями, между неизвестными переменными числами, или переменными, которые условно обозначают последними буквами алфавита. Например, говорят, что в уравнении

переменная у является функцией х. Это в математике кратко обозначается

Таким образом, во времена Галилея существовало два различных подхода к решению математических проблем — геометрия и алгебра, которые пришли из разных культур. Два эти подхода были объединены Рене Декартом. Моложе Галилея на поколение, Декарт более всего известен как основатель современной философии. Однако он был и блестящим математиком. Изобретенный Декартом метод преобразования алгебраических формул и уравнений в визуальную геометрическую форму стал величайшим из его многочисленных вкладов в математику.

Метод, известный как аналитическая геометрия, немыслим без декартовых координат — системы координат, изобретенной Декартом и названной в его честь. Например, когда взаимосвязь между двумя переменными х и у из нашего предыдущего примера (уравнение у = х + 1) изображается графически в декартовой системе координат, мы видим, что она соответствует прямой линии (рис. 6-1). Вот почему уравнения такого типа называются линейными.

Подобным же образом уравнение у = х2 представляется в виде параболы (рис. 6-2). Уравнения такого типа, соответствующие кривым линиям в декартовой сетке координат, называются нелинейными. Их отличительной чертой служит то, что одна или больше его переменных возведены в степень не менее 2-й.

Дифференциальные уравнения

В свете нового метода Декарта законы механики, открытые Галилеем, могли быть выражены либо в алгебраической форме как уравнения, либо в геометрической — как зримые фигуры. Однако существовала важная математическая проблема, которую ни Галилей, ни Декарт, ни кто-либо из их современников не могли решить.
–

Они не могли составить уравнение, описывающее движение тела с переменной скоростью, с ускорением или замедлением.

Чтобы понять эту проблему, рассмотрим два движущихся тела: одно передвигается с постоянной скоростью, другое — с ускорением. Если мы построим для них график зависимости расстояния от времени, то получим две кривые, показанные на рис. 6-3. Скорость ускоряющегося тела меняется каждое мгновение, и это именно то, что Галилей и его современники не могли выразить математически. Иными словами, они не могли вычислить точное значение скорости в данный момент времени.

Расстояние

Столетие спустя великану классической науки Исааку Ньютону и, примерно в то же время, немецкому философу и математику Готфриду Вильгельму Лейбницу удалось сделать это. Для того чтобы решить эту проблему, на протяжении веков мучившую математиков и натурфилософов, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, изобрели новый математический метод, сегодня известный как дифференциальное исчисление. Метафорически этот метод называется «воротами в высшую математику».

Понять, каким образом Ньютон и Лейбниц подошли к решению проблемы, представляется весьма поучительным и не требует знания специального математического языка. Всем известно, как вычислить скорость движущегося тела, если она остается постоянной. Если вы ведете машину со скоростью 20 км/ч, то это значит, что за час вы проедете 20 километров, за 2 часа — 40 и т. д. Другими словами, для того чтобы определить значение скорости машины, вы просто делите расстояние (например, 40 километров) на время, которое у вас уходит, чтобы его проехать (например, 2 часа). Применительно к нашему графику это означает, что разность между двумя координатами расстояния нужно поделить на разность между двумя соответствующими координатами времени, как это показано на рис. 6-4.

Если скорость машины меняется — а это всегда происходит в реальной жизненной ситуации, — то за один час вы проедете больше или меньше 20 км, в зависимости от того, как часто ускоряли или замедляли ход машины. Как же в таком случае вычислить точную скорость в определенный момент времени?

Вот как это сделал Ньютон. Он предложил сначала вычислить (в случае ускоряющегося движения) примерную скорость между двумя точками, заменив участок кривой между ними прямым отрезком. Как видно из рис. 6-5, скорость опять определяется соотношением между {d2-d1) и (t2-t1). Это не будет точным значением скорости ни в одной из двух точек, но если уменьшить расстояние между ними в достаточной степени, мы получим хорошее приближение.