Чтение онлайн

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Каждый член последовательности, за исключением первых двух, представляет собой сумму предыдущих двух членов. Для вычисления N-гo числа Фибоначчи F определим предикат

фиб( N, F)

Нумерацию чисел последовательности начнем с N = 1. Программа для фиб обрабатывает сначала первые два числа Фибоначчи как два особых случая, а затем определяет общее правило построения последовательности Фибоначчи:

фиб( 1, 1). % 1-е число Фибоначчи

фиб( 2, 1). % 2-е число Фибоначчи

фиб( N, F) :- % N-е число Фиб., N > 2

N > 2,

N1 is N - 1, фиб( N1, F1),

N2 is N - 2, фиб( N2, F2),

F is F1 + F2. % N-e число есть сумма двух

% предыдущих

Процедура фиб имеет тенденцию к повторению вычислений. Это легко увидеть, если трассировать цель

?- фиб( 6, F).

На рис. 8.2 показано, как протекает этот вычислительный процесс. Например, третье число Фибоначчи f( 3) понадобилось в трех местах, и были повторены три раза одни и те же вычисления.

Этого легко избежать, если запоминать каждое вновь вычисленное число. Идея состоит в применении встроенной процедуры assert для добавления этих (промежуточных) результатов в базу данных в виде фактов. Эти факты должны предшествовать другим предложениям, чтобы предотвратить применение общего правила в случаях, для которых результат уже известен. Усовершенствованная процедура фиб2 отличается от фиб только этим добавлением:

фиб2( 1, 1). % 1-е число Фибоначчи

фиб2( 2, 1). % 2-е число Фибоначчи

фиб2( N, F) :- % N-e число Фиб., N > 2

N > 2,

Nl is N - 1, фиб2( N1, F1),

N2 is N - 2, фиб2( N2, F2),

F is F1 + F2, % N-e число есть сумма

% двух предыдущих

asserta( фиб2( N, F) ). % Запоминание N-го числа

Эта программа, при попытке достичь какую-либо цель, будет смотреть сперва на накопленные об этом отношении факты и только после этого применять общее правило. В результате, после вычисления цели фиб2( N, F), все числа Фибоначчи вплоть до N-го будут сохранены. На рис. 8.3 показан процесс вычислении 6-го числа при помощи фиб2. Сравнение этого рисунка с рис. 8.2. показывает, на сколько уменьшилась вычислительная сложность. Для больших N такое уменьшение еще более ощутимо.

Запоминание промежуточных результатов - стандартный метод, позволяющий избегать повторных вычислений. Следует, однако, заметить, что в случае чисел Фибоначчи повторных вычислений можно избежать еще и применением другого алгоритма, а не только запоминанием промежуточных результатов.

Рис. 8. 2. Вычисление 6-го числа Фибоначчи процедурой фиб.

Рис. 8. 3. Вычисление 6-го числа Фибоначчи при помощи процедуры фиб2, которая запоминает предыдущие результаты. По сравнению с процедурой фиб здесь вычислений меньше (см. рис. 8.2).

Этот новый алгоритм позволяет создать программу более трудную для понимания, зато более эффективную. Идея состоит на этот раз не в том, чтобы определить N-e число Фибоначчи просто как сумму своих предшественников по последовательности, оставляя рекурсивным вызовам организовать вычисления "сверху вниз" вплоть до самых первых двух чисел. Вместо этого можно работать "снизу вверх": начать с первых двух чисел и продвигаться вперед, вычисляя члены последовательности один за другим. Остановиться нужно в тот момент, когда будет достигнуто N-e число. Большая часть работы в такой программе выполняется процедурой

фибвперед( М, N, F1, F2, F)

Здесь F1 и F2 - (М - 1)-е и М-е числа, а F - N-e число Фибоначчи. Рис. 8.4 помогает понять отношение фибвперед. В соответствии с этим рисунком фибвперед находит последовательность преобразований для достижения конечной конфигурации (в которой М = N) из некоторой заданной начальной конфигурации. При запуске фибвперед все его аргументы, кроме F, должны быть конкретизированы, а М должно быть меньше или равно N. Вот эта программа:

фиб3( N, F) :-

фибвперед( 2, N, 1, 1, F).

% Первые два числа Фиб. равны 1

фибвперед( М, N, F1, F2, F2) :-

М >= N. % N-e число достигнуто

фибвперед( M, N, F1, F2, F) :-

M < N, % N-e число еще не достигнуто

СледМ is М + 1,

СледF2 is F1 + F2,

фибвперед( СледМ, N, F2, СледF2, F).

Рис. 8. 4. Отношения в последовательности Фибоначчи. "Конфигурация" изображается

здесь в виде большого круга и определяется тремя параметрами: индексом М и двумя

последовательными числами f( M-1) и f( М).