Чтение онлайн

Компьютерная цепь вычислений могла воспроизводить 24 часа в минуту, после чего экран компьютера Лоренца становился сценой для драмы будущих событий: высокое давление, сменяющееся низким давлением, ураганы, вслед за которыми дул нежный ветерок, темные и штормовые ночи, после которых наступают ленивые летние дни.

Модель Лоренца была больше, чем просто будоражащей. У нее был огромный потенциал. Что если однажды станет возможным предсказывать погоду на несколько месяцев вперед?

Однако в тот зимний день 1961 года Лоренц сделал очень необычное и странное открытие. Он решил проверить предыдущее воспроизведение, на этот раз с более длинной последовательностью. Но вместо того, чтобы произвести все вычисления с начала, он попытался сократить процесс. Он ввел значения, полученные в прошлый раз, но начиная с середины цепочки. Затем он включил машину и вышел в коридор сделать себе чашечку кофе. В тот момент он совершенно не подозревал, что тем временем компьютерные итерации вели себя действительно очень странно.

Когда Лоренц вернулся, он очень удивился. Вычисления компьютера, которые должны были быть идентичны с предыдущей последовательностью, вообще выглядели неправильно. Они отклонялись все больше и больше и на два месяца вперед потеряли всякое сходство с первым воспроизведением.

Сначала он приписал это ошибке компьютера, но вскоре он понял настоящую причину. Его отправные точки цепи вычислений имели трехдесятичную точность. Однако компьютерные расчеты велись с шестью десятичными знаками, что доказывало их существенную значимость. Его собственная интуиция подсказывала, что было бы разумным не придавать значения последним трем десятичным во вводимых данных, так как едва ли их могли зарегистрировать метеорологические измерительные инструменты: насколько важна была 1/1000 или еще меньше? Но в метеорологической компьютерной модели Лоренца эти десятичные дроби доказали свою огромную значимость.

Открытие Лоренца не стало чем-то особенным для метеорологических прогнозов. Оно указало, в основном, на математический феномен, который ученые прежде никогда не замечали. Его сразу назвали «эффектом бабочки», так как реалистические имитации показали, что сложные вычисления системы сильно зависят от начальных значений, причем настолько сильно, что взмах крыла бабочки в Бразилии мог бы стать причиной возникновения торнадо в Техасе (Лоренц, 1979 год). Или, говоря финансовым языком: маленькая старушка, продающая несколько облигаций в Брюсселе, могла бы стать причиной краха в Японии! И выяснилось, что эта зависимость касалась не только сложных моделей: эффект бабочки можно было также обнаружить и в простых нелинейных моделях, демонстрирующих неустойчивость (рис. 4).

Рисунок 4 Эффект бабочки. График показывает математическое моделирование 11 объектов, скользящих вниз с неравномерными наклонами пиков и впадин, расположенных в синусоидальной модели. Длина наклона 100 метров. При моделировании объекты стартуют с одинаковым распределением точек, отдаленных друг от друга по горизонтали на 5 мм. Приблизительно через 30 метров их распределение уже в 20 метрах друг от друга. Интересный момент: график напоминает сигаретный дым, если его перевернуть наоборот. (Источник: Эдвард Н. Лоренц, Центр Метеорологии и Физической Океанографии, Кембридж, Массачусетс.)

Последствия этого открытия были революционными. Представьте себе, что поверхность Земли покрыта сетью метеостанций с трехдесятичной точностью, находящихся только в 30 см друг от друга, посылающих свои измерения в центральный компьютер каждую минуту. И предположите, что этот компьютер достаточно большой, чтобы вместить в себя совершенно правильную модель глобальных погодных моделей. Если бы даже и было так, то надежный прогноз погоды на месяц вперед сделать просто невозможно. Как раз вопреки своим первоначальным намерениям и ко всеобщему удивлению, Лоренц смог доказать, что невозможно и никогда не будет возможно давать долгосрочные прогнозы погоды.

Эффект бабочки — один из элементов системы математических феноменов, с тех пор обобщенно названных термином «детерминированный хаос». Этот феномен охарактеризован Чера Л. Сайерсом следующим образом (1989): «Процесс характеризуется детерминированным хаосом, если он генерирован полностью детерминированной системой [5] , возникающей как результат беспорядочно функционирующих рядов в стандартных временных диапазонах». Нас окружает хаос. Представим себе дымок сигареты в тихой комнате. Тысячи микроскопических частиц дыма поднимаются узкой колонкой, подталкиваемые горячим воздушным потоком. Затем внезапно колонка прерывается, заменившись турбулентными, постоянно меняющимися завихрениями дыма. Линейный поток трансформировался в хаос. И это происходит независимо от того, где вы находитесь. Или рассмотрим игру в футбол. Ни один, даже самый проницательный эксперт не сможет предугадать, где мяч окажется всего лишь через 10 секунд.

Хаос наступает главным образом в отношениях, где присутствуют самопроизвольные усиливающиеся механизмы. Вообразите себе систему, в которой событие «А» приводит к событию «В», а событие «В» к событию «С». Если событие «С» затем воспроизводит событие «А», тогда в этом процессе есть простая цепь положительной обратной связи.

Если мы попытаемся наметить в общих чертах взаимоотношения в экономике страны, как если бы это была метеорология, то вскоре столкнемся со сложными вариантами этих механизмов. Среди хорошо известных примеров есть так называемые эффекты мультипликации и акселерации, тезаврирование, самопроизвольное усиление ожиданий роста («держаться наравне с Джонесесом»), увеличение потребностей в капитале из-за смещений во взаимоотношениях труда и капитала и т. д., — все вместе эти многочисленные цепочки обратных связей могут означать, что системы имеют не просто равновесие, а сами себя раскачивают или демонстрируют иные сложные движения. Каждая из этих положительно воздействующих цепей обратных связей может вносить свой вклад в самопроизвольно усиливающую природу экономического феномена, пока окончательно не будет заторможена другими механизмами. Чтобы правильно описать эти системы, необходимо применить нелинейную математику.

Тем не менее экономическое моделирование традиционно строится на линейных моделях, основанных на функции равновесия. Эти модели показывают, как все элементы экономики непрерывно адаптируются ко всем другим элементам, но без каких-либо корректных оговорок, сделанных одновременно для многих положительных обратных связей. Когда контуры обратной связи объединяются, в основном, это бывают отрицательные, дестабилизирующие цепочки, то есть это вовсе не ведущие к устойчивости положительные контуры. Эти модели на практике функционируют очень вяло, что традиционно объясняется «стохастическими внешними беспокойствами», а также отсутствием точности в деталях модели.

По этой причине результаты первых нелинейных компьютерных моделирований стали сильным шоком для всего академического мира. Внезапно все осознали, что линейные модели не только несовершенные, но и могут быть абсолютно неверными.

Но самое важное заключалось в том, что даже теоретически правильные нелинейные модели могли привести к полной непредсказуемости, хотя они были детерминированными и структурированными по своему характеру. Это означает, что системы нарушались стохастическими внешними неупорядоченностями и непредсказуемость могла быть элементом собственной эндогенной природы макроэкономических систем. Как это может проявляться, показывает, например, феномен, называемый «раздвоение».

Одним из первых, описавшим раздвоения, был австралийский биолог Роберт Мэй. В начале 70-х гг. Мэй разработал математическую модель развития в популяции рыб. Когда он вводил наименьшие значения для одной из переменных формулы — тренда репродукции рыб, — модель показывала определенную экологическую точку равновесия для определенных размеров популяции. Если популяция с самого начала находилась за пределами этой точки равновесия, она постепенно могла вернуться к этой точке посредством «подавляющих осцилляций». Этот результат был именно таким, каким и должен быть. Однако если Мэй вводил наивысшие значения, то размер популяции начинал постоянно колебаться то вверх, то вниз и никогда не мог достичь устойчивости. Таким образом, модель при отличающихся вводных данных демонстрировала прогнозы абсолютно разного характера: она демонстрировала хаос.

Он нашел, что это очень загадочное явление, и стал изучать финальную модель для всех значений репродуктивного тренда. Результат оказался поразительным. При самых минимальных значениях популяция рыб естественным образом приходила к вымиранию. Если Мэй увеличивал значение репродуктивного тренда до определенного уровня, популяция могла выжить, и плавная кривая отражала ее уровни равновесия: чем выше значение репродуктивного тренда, тем сильнее оказывалась равновесная популяция.

Но он обнаружил, что на определенном уровне плавная кривая неожиданно раздваивалась на две части. Это означало, что популяция могла колебаться между двумя различными уровнями равновесия. Такое явление названо «раздвоением» и полностью противоречило традиционным представлениям. После того как Мэй еще больше увеличил величину репродуктивного тренда, картина стала еще более странной: два уровня равновесия перешли уже в 4, затем в 8, 16, 32 и в конце концов привели к хаосу.