Чтение онлайн

282. Всего таких квадратов 19. Из них 9 того же размера, что и квадрат, отметенный буквами a, 4 того же размера, что и квадрат, отмеченный буквами b, 4 размера cи 2 размера d. Если убрать 6 фишек, отмеченных буквой e, то из оставшихся фишек нельзя будет образовать ни одного квадрата.

[На самом деле квадратов 21. Не сумеет ли читатель найти два квадрата, пропущенные Дьюдени? Ответ на вторую часть задачи остается тем не менее верным. — М. Г.]

283. Число способов, с помощью которых из 21 дерева можно выбрать 3, равно

x x , или 1330. Треугольник можно образовать из любых трех деревьев, не лежащих на одной прямой. Три дерева на пунктирной прямой ABможно выбрать 20 способами, на следующей параллельной прямой с пятью деревьями — десятью способами, на следующей — четырьмя и на следующей — одним способом, что в совокупности составляет 35 способов. Аналогично прямая BCвместе с параллельными даст 35 способов и прямая ACс параллельными — тоже 35 способов. Далее, прямая ADвместе с прямыми, ей параллельными, даст 3 способа, а прямые BFи CEсо своими параллельными — по 3 способа каждая. Следовательно, 3 дерева, лежащие на одной прямой, можно выбрать 35 + 35 + 35 + 3 + 3 + 3 = 114 различными способами. Значит, 1330 - 114 = 1216 и есть искомое число способов, с помощью которых можно огородить треугольный участок.

284. На рисунке пунктиром показаны окружность, ограничивающая красный круг, и вписанный в нее правильный пятиугольник. Общий центр окружности и пятиугольника обозначен буквой C. Найдем точку D, равноотстоящую от A, Bи C, и радиусом ADпроведем окружность ABC. Пять дисков такого размера полностью покроют круг, если их центры поместить в точки D, E, F, Gи H. Если диаметр большого круга равен 6 дм, то диаметры дисков немного меньше 4 дм (диаметры дисков равны 4 дм «с точностью до 1/2 дм»). Если у вас нет никаких тайных отметок на круге, то потребуется немного внимания и тренированности, чтобы класть диски на нужные места, не сдвигая их потом.

Следует добавить, что большой круг можно покрыть, если отношение диаметров превышает 0,6094185, и невозможно, если оно меньше 0,6094180. В нашем случае, когда все диски проходят через центр, отношение равно 0,6180340.

285. Чтобы разделить круглое поле тремя изгородями равной длины на 4 равные части, первоначально следует разделить на 4 части диаметр круга, а затем по обе его стороны описать полуокружности, как показано на рисунке. Изогнутые линии изобразят тогда искомые изгороди.

286. Если построить прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру круга, а другая в 3 раза больше, то его диагональ будет довольно близка к ответу. Практически ее отношение к диаметру будет равно

, или 3,1622... Мы рекомендуем следующий метод.

Проведем диаметр AB. Разделим точкой Dполуокружность пополам. Радиусом ACиз точек Aк Bсделаем засечки Eи Fи проведем прямые DEи DF. Отрезок DGплюс отрезок GHдадут 1/4 длины окружности IKс относительной погрешностью 0,005. Ломаная IKLMи будет искомой.

Существует другой метод, дающий относительную погрешность 0,017, но он сложнее.

287. Поскольку внешние колеса движутся вдвое быстрее внутренних, то длина окружности, которую они описывают, в 2 раза больше длины внутренней окружности. Следовательно, диаметр одного круга больше диаметра другого в 2 раза. Так как расстояние между колесами равно 1,5 м, то диаметр большего круга равен 6 м. Умножив 6 м на 3,1416 (обычное приближенное значение числа ), мы получим 18,85 м — длину окружности большего круга.

288. Первый компаньон должен пользоваться точильным кругом до тех пор, пока радиус круга не уменьшится на 1,754 см. Второй должен уменьшить радиус еще на 2,246 см, оставив третьему 4 см и отверстие. Это очень хорошее приближение.

289. Окружности переднего и заднего колес равны соответственно 15 и 18 футам Таким образом, каждые 360 футов переднее колесо делает 24 оборота, а заднее — 20 и разность составляет 4 оборота. Если длину окружности уменьшить на 3 фута, то 12 в 360 уложится 30 раз, а 15 уложится 24 раза и разность составит 6 оборотов

290. Диаметр внутреннего круга в два раза меньше наружного, следовательно, и его окружность вдвое меньше. Если бы он просто прокатился вдоль воображаемой линии CD, то ему на это потребовалось бы два оборота: после первого точка Dзаняла бы положение E. Но точка Bтогда попала бы в F, а не в G, что абсурдно. Дело в том, что внутренний круг делает один оборот, но он катится по линии CDкак за счет собственного вращения, так и за счет переноса. Точка Aпопадает в Bлишь благодаря обороту всего колеса, но если вы представите себе точку в центре колеса (у точки нет длины окружности), то она проходит то же расстояние за счет того, что я называю переносом. Траектория точки Aпредставляет собой обычную циклоиду, а точка Cпо дороге в Dописывает трохоиду.

Мы видели, что если колесо делает один полный оборот, при котором Aпопадает в B, то расстояние ABравно длине окружности, хотя и не можем выразить его точно. Далее, точка Aдвижется по кривой, показан- ной на рисунке, которая, как я уже говорил, называется простой циклоидой. Если диаметр колеса равен 28 см, то мы в состоянии точно вычислить длину этой кривой. Любопытно, что, не умея точно выразить длину прямолинейного отрезка AB, мы тем не менее можем найти точную длину кривой! Чему она равна? Я дам ответ немедленно. Длина циклоиды в 4 раза больше длины диаметра. Следовательно, 4 x 28 равно искомой длине — 112 см. Кроме того, площадь фигуры, ограниченной этой кривой и отрезком AB, ровно в 3 раза больше площади круга. Следовательно, площадь каждой из замкнутых фигур, находящихся по обе стороны круга, равна площади круга.

291. Разумеется, каждая часть колеса вращается вокруг оси с постоянной скоростью, и, следовательно, в случае неподвижнойоси, как, например, у точильного круга, ответ будет отрицательным. Однако в случае движущегосявелосипеда не вызывает сомнений тот факт, что верхняя часть колеса движется относительноземли быстрее нижней. Если бы дело обстояло иначе, то велосипедист оставался бы на месте, подобно точильному кругу.

Взгляните на рисунок, где изображены четыре положения колеса, которые оно занимает за время полного оборота от A 1до A 4. Я уже упоминал об одной кривой, называемой простой циклоидой, которую описывает точка на ободе колеса. Здесь показаны две такие кривые, описываемые точками A 1и B 1. Обратите внимание, что за пол-оборота A 1пройдет до A 3, а B 1 — до B 3равные расстояния. Но ни одна точка не движется все время с постоянной скоростью. Это можно сразу же заметить, если мы рассмотрим четверть оборота, когда A 1займет всего лишь положение A 2, а B 1доберется уже до B 2. Мы видим, таким образом, что точка обода движется относительно земли медленней, когда она находится внизу, и быстрее, когда она расположена сверху.

А вот простой практический способ убедить наших недоверчивых друзей, не прибегая к помощи рисунка. Проведите на листе бумаги прямую линию и положите монету так, чтобы год ее выпуска находился на этой прямой. Теперь прокатите монету вдоль прямой на очень маленькое расстояние вправо и влево. При этом станет вполне очевидно, что год выпуска едва оторвется от прямой, а верхняя часть цифры, указывающей достоинство монеты, пройдет значительное расстояние. Это вполне убедительно показывает, что верхняя часть колеса (то есть часть, которая в данный момент находится сверху) движется быстрее нижней.