Чтение онлайн

Идея о теоретическом существовании «плохих» точек принадлежала Ренни, хотя мы, разумеется, были заинтересованы в «хороших» точках. Стратегия Ренни напоминала концепцию отрицательного пространства, к которой прибегают художники: чтобы лучше уяснить интересующий вас объект, постарайтесь уяснить пространство, окружающее этот объект. В частности, Ренни придумал, как доказать, что «плохие» точки занимают нулевую площадь.

Чтобы составить некоторое представление о его доказательстве, сосредоточимся на наихудших из «плохих» точек, которые я буду называть «ужасными». Эти точки – самые непокорные в своем стремлении воспрепятствовать достижению синхронизма: они вообще не поддаются поглощениям. Когда система начинает свою работу с какой-либо ужасной точки, никакая из пар осцилляторов (и тем более не вся популяция осцилляторов) не сможет синхронизироваться.

Чтобы понять, почему ужасные точки не могут занимать площадь больше нулевой, вообразите все эти точки в виде некой совокупности и проанализируйте, что произойдет, когда мы применим наше преобразование ко всем точкам в такой совокупности. Каждая ужасная точка перескочит в какое-то другое место, но после такого преобразования она все равно останется ужасной. Это звучит почти как тавтология: если какая-либо точка никогда не приводит к поглощению, то после одной итерации нашего преобразования она все равно никогда не приведет к поглощению. Следовательно, новая точка также является ужасной. Поскольку первоначальная совокупность включала все ужасные точки (по определению), эта новая точка должна была бы где-то здесь появиться, чтобы она могла исполнить роль начальной.

Наш вывод заключается в том, что преобразованная совокупность находится полностью внутри первоначальной совокупности. Могу предложить более наглядную аналогию: это похоже на хорошо известные вам фотографии «до» и «после», используемые в рекламе всевозможных диет для похудения. Преобразованная совокупность – похудевшая «после» – фотография – полностью содержится внутри толстой «до» – фотографии (как в рекламе диет для похудения).

До сих пор в нашем доказательстве не использовалась какая-либо информация о форме кривой заряда или величине «толчков». Когда мы в конечном счете учтем эти детали, мы придем к выводу, который, на первый взгляд, может показаться парадоксальным, хотя на самом деле он является решающим доводом в нашем доказательстве. Нам с Ренни удалось доказать, что преобразование из «до» в «после» действует подобно функции увеличения масштаба в фотокопировальном аппарате. Любая совокупность точек, которую вы подаете на вход нашего преобразования, на его выходе оказывается увеличенной в том смысле, что ее суммарная площадь оказывается умноженной на коэффициент, больший 1. Неважно, какую именно совокупность вы выберете (как неважно и то, какое изображение вы поместите в фотокопировальный аппарат): увеличится площадь всех совокупностей. В частности, увеличится площадь совокупности ужасных точек. Но погодите, это означает, что совокупность ужасных точек становится толще, а не тоньше. Но это, похоже, противоречит тому, о чем мы говорили выше. Если быть более точным, проблема в том, что преобразованная версия совокупности ужасных точек должна находиться внутри исходной совокупности при том, что ее площадь также должна увеличиться, что кажется невозможным. Единственным условием, при котором эти два вывода могут быть совместимы, является нулевая площадь исходной совокупности (фотография «до» должна представлять собой изображение тонкого прута). В таком случае никакого противоречия нет: при умножении на число, большее 1, площадь исходной совокупности останется нулевой, поэтому преобразованная совокупность может поместиться внутри исходной совокупности. Но это именно то, что мы хотели продемонстрировать: ужасные точки занимают нулевую площадь. Именно поэтому вам никогда не удастся выбрать их, если вы будете выбирать начальное условие случайным образом. Не сможете вы выбрать и какие-либо другие «плохие» точки. Именно поэтому наступление синхронизма в такой модели является неизбежным.

Та же аргументация относится к любому другому количеству осцилляторов – с той небольшой поправкой, что в случае четырех или большего количества осцилляторов площадь нужно заменить на объем или гиперобъем. В любом случае вероятность начать процесс с плохой точки всегда остается равной нулю. Следовательно, Пескин был прав: в его модели идентичных импульсно-связанных осцилляторов каждый из осцилляторов в конечном счете запускается в унисон с остальными.

Конструируя это доказательство, мы пришли к выводу, что предположение Пескина об утечках было очень важным: в противном случае преобразование из «до» в «после» не расширяет площадь и все доказательство разваливается. Более того, оно должно развалиться, поскольку наша теорема без такого предположения недействительна. Если кривая заряда загибалась вверх, а не вниз – если напряжение растет все быстрее по мере приближения к пороговому значению, – то наше моделирование показывало, что рассматриваемая популяция осцилляторов вовсе не обязательно синхронизируется. Осцилляторы могут зациклиться в случайной картине хаотических запусков.

Этот тонкий момент зачастую ставил в тупик других математиков, когда я читал свои первые лекции по нашей работе: прежде чем я успевал дать развернутое пояснение этого момента, какой-нибудь критикан (а среди слушателей обязательно находился хотя бы один такой) прерывал меня и упрекал в тривиальности нашей теоремы: дескать, осцилляторы, конечно же, синхронизируются, поскольку все они идентичны и одинаково связаны друг с другом – а на какой же еще результат я рассчитывал? Но такое возражение слишком обманчиво: оно игнорирует слабое влияние кривой заряда. Синхронизм возникает с неизбежностью лишь в случае, когда эта кривая изгибается в «правильном» направлении. С биологической точки зрения, форма кривой заряда определяет, в какой момент толчки оказываются более сильными: в начале цикла (вблизи исходного состояния) или в конце цикла (вблизи порогового значения). Когда кривая заряда наклонена вниз, как в модели Пескина, данный толчок напряжения трансформируется в больший сдвиг фазы для осцилляторов, близких к пороговому значению, что в свою очередь гарантирует, что система будет синхронизирована, хотя понять, почему именно она будет синхронизирована, не так-то просто.

Сконструированное нами доказательство выводов, сделанных Пескином, оказалось первым строгим результатом, относящимся к популяции осцилляторов, обменивающихся внезапными импульсами. Что же касается реальных светлячков или клеток-ритмоводителей сердца, такая модель является очевидным упрощением. Она предполагает, что запуск одного осциллятора всегда подталкивает другие осцилляторы в направлении порога, продвигая таким образом их фазы вперед; реальные биологические осцилляторы могут, вообще говоря, сдвигать фазу как вперед (опережение), так и назад (запаздывание). Кроме того, тайские светлячки, которые являются самыми большими мастерами в части синхронизации – вид, известный как Pteroptyx malaccae, – используют совершенно другую стратегию [16] : они непрерывно корректируют частоту своих «внутренних часов», а не их фазу, в ответ на сторонние вспышки. По сути, они заставляют свои «внутренние часы» тикать быстрее или медленнее, вместо того чтобы переводить свою минутную стрелку немного вперед или назад. К тому же, предполагая, что все осцилляторы идентичны, наша модель не принимает во внимание генетическое разнообразие, присущее любой реальной популяции. И наконец, наше допущение, что все осцилляторы оказывают одинаковое воздействие друг на друга, является очень грубым описанием клеток сердца, которые влияют главным образом на своих ближайших соседей. Учитывая все эти ограничения нашего анализа, мы оказались не готовы к реакции, которую он должен был вызвать с неизбежностью.

В течение нескольких следующих лет было опубликовано более 100 статей, посвященных импульсно-связанным осцилляторам. Авторами этих статей были ученые, представлявшие множество дисциплин, начиная с нейробиологии и заканчивая геофизикой. Что касается нейробиологии, то теоретиков, изучающих модели нейронных сетей, категорически не устраивал преобладающий подход, согласно которому нейроны весьма грубо описывались средними скоростями их запуска (количеством скачков напряжения в секунду), а не фактическим распределением самих этих скачков во времени [17] . Предложенная нами новая модель импульсно-связанных осцилляторов идеально отвечала потребностям ученых-нейробиологов и духу времени в целом.

По случайному стечению обстоятельств или, может быть, в силу каких-то других причин в начале 1990-х годов ученые в других областях также размышляли над поведением систем такого рода. Например, влиятельный биофизик Джон Хопфилд, работающий в Калифорнийском технологическом институте, обнаружил связь между землетрясениями и импульсно-связанными нейронами [18] . В упрощенной модели землетрясения пласты земной коры постоянно воздействуют друг на друга, создавая напряжение, которое нарастает до тех пор, пока не будет достигнут некий порог. Затем эти пласты внезапно начинают скользить относительно друг друга; высвобождающаяся при этом энергия приводит к взрыву. Весь этот процесс напоминает постепенное повышение и внезапный скачок напряжения нейрона. В описанной выше модели землетрясения соскальзывания одного пласта может оказаться достаточно, чтобы запустить соскальзывание других пластов (точно так же, как запуск нейрона может вызвать цепную реакцию других разрядов в мозге). Эти каскады множащихся событий могут приводить к землетрясениям (или эпилептическим хватательным движениям у человека). В зависимости от того, какой именно оказывается конфигурация других элементов системы, результатом может быть либо едва различимый гул, либо сильное землетрясение.

Такая же математическая структура возникала в моделях других взаимодействующих систем, начиная с лесных пожаров и заканчивая массовыми вымираниями живых организмов. В каждом таком случае какой-то отдельно взятый элемент подвергается нарастающему давлению, продвигается в направлении некого порога, а затем внезапно высвобождает накопившееся напряжение и распространяет его на другие элементы, что способно вызвать эффект домино. Модели с таким характером широко обсуждались в начале 1990-х годов. Статистика каскадов – в основном небольших, но в нескольких случаях катастрофических – изучалась теоретически физиком Пером Баком и его сотрудниками в связи с тем, что они называли самоорганизующейся критичностью [19] .

Открытие, сделанное Хопфилдом, заключается в том, что самоораганизующася критичность может быть тесно связана с синхронизацией в импульсно-связанных системах осцилляторов. Интригующая возможность связи между этими двумя областями породила десятки статей, в которых исследовались возможные варианты связи [20] . Этот эпизод служит примером того, как математики могут выявлять скрытую связь явлений, которые на первый взгляд кажутся не связанными между собой.

Наша работа привлекла также внимание средств массовой информации – в основном из-за ее связи со светлячками, которые вызывали у большинства людей детские воспоминания о летних вечерах, когда они ловили этих мерцающих насекомых в стеклянные банки [21] . В результате этого повышенного внимания со стороны прессы в 1992 г. я получил восторженное письмо от женщины по имени Линн Фост, проживающей в Ноксвилле, Теннеси. В характерной для нее вежливой и непосредственной манере она была готова разрушить давний миф о синхронно мерцающих светлячках. Вот о чем она поведала мне в своем письме.