Чтение онлайн

12. Среди первых 18 футов каната, измеренных лавочником, каждый ярд (то есть 3 фута) оказался короче своей истинной величины на 3 дюйма; значит, общая недостача на 18 футов составила 18 дюймов, или V/ 2фута. В оставшихся 2 футах потерь не было, поскольку для их измерения деревянный ярд использовался не на полную длину (потребовалось только 24 дюйма, а в нем было 33 дюйма). Следовательно, длина полученного моряком каната 81У 2фута, что при цене 2 цента за фут составляет 1 доллар 63 цента. Лавочник же получил лишь 1 доллар 60 центов (80 футов по 2 цента за фут), да и то фальшивой пятидолларовой монетой (он дал моряку сдачу 3 доллара 40 центов). Таким образом, общая сумма убытка составляет 5 долларов 3 цента. Тот факт, что сосед разменял ему золотую монету, на доходе или убытке не отражается.

13. Смит должен был начать с 99 долларов 98 центов, а осталось у него только 49 долларов 99 центов.

14. Лучший способ решения этой задачи основан на том факте, что площади кругов пропорциональны квадратам их диаметров. Если мы впишем квадрат ABCDв исходный круг и забудем об отверстии в центре, то площадь круга Е,вписанного в этот квадрат, как раз и составит половину исходной площади.

< image l:href="#" />

Теперь к кругу Енадо добавить половину площади отверстия. Мы впишем в отверстие квадрат, а затем в этот квадрат впишем новый круг. Площадь меньшего круга, следовательно, составит половину площади отверстия. Поместим теперь маленький круг в Gтак, чтобы его диаметр стал стороной прямоугольного треугольника, основанием которого служит диаметр круга Е.Гипотенуза HIбудет тогда диаметром круга, площадь которого равна сумме площадей круга Еи маленького круга в G.Этот круг, показанный пунктирной линией, и дает искомый размер точильного круга после того, как последний сточится ровно наполовину. Его диаметр можно подсчитать следующим образом.

Диаметр круга Есовпадает с длиной стороны наибольшего квадрата. Зная, что диагональ этого квадрата равна 22 дюймам, мы находим, что его сторона, а значит, и диаметр круга Eравны квадратному корню из 242. Аналогичным образом находим, что диаметр наименьшего круга составляет – квадратный корень из 242/49 дюйма.

Квадрат диаметра пунктирного круга равен сумме квадратов двух найденных диаметров, то есть 242 + 242/49 – 12100/49. Извлекая отсюда квадратный корень, мы и находим искомую величину, равную 110/7 – 155/7 дюйма. Таков должен быть диаметр точильного круга, когда его получит второй компаньон.

15. Разумеется, выиграет кошка. Чтобы пробежать все расстояние и вернуться, ей нужно сделать ровно 100 прыжков. Собака, напротив, вынуждена проделать 102 фута и вернуться обратно. На своем 33-м прыжке она достигнет отметки 99 футов, и поэтому ей необходимо сделать еще один прыжок, который приведет ее на 2 фута дальше нужной отметки. Таким образом, чтобы пройти всю дистанцию, собака должна сделать 68 прыжков. Но частота ее прыжков составляет только 2/ 3от частоты прыжков кошки, так что на 100 прыжков кошки приходится лишь неполных 67 прыжков собаки.

Но у Барнума в кармане была возможность сыграть первоапрельскую шутку. Допустим, что кошку (а точнее, кота) зовут Васькой, а собаку – Жучкой! Тогда фразу «она делает 3 прыжка, в то время как ее соперник делает 2» следует понимать так, что собака пробегает расстояние в 9 футов, когда кот пробегает 4 фута. Таким образом, когда собака финиширует, сделав 68 прыжков, кот преодолеет расстояние всего лишь в 90 футов и 8 дюймов.

[Эта же самая головоломка вызвала в Лондоне чувство разочарования, когда Г. Э. Дьюдени опубликовал ее 1 апреля 1900 г. в еженедельнике The Weekly Dispatch.В варианте Дьюдени в беге состязались садовник (женщина) и повар (мужчина). – М. Г.]

16. Ответ приведен на рисунке.

17. На эту задачу нет однозначного ответа, если только вы не знаете, сколько заплатил делец за свой велосипед первоначально. А раз в условии это не сказано, то и решить задачу удовлетворительным образом невозможно.

18. Бак с квадратным дном, ширина которого вдвое меньше глубины, имеет самые экономичные размеры. Если куб со стороной, близкой к 12,6 фута, вмещает 2000 кубических футов, то вдвое меньшая глубина приводит как раз к искомой 1000 кубических футов.

[Точные размеры искомого бака не выражаются в рациональных числах, поскольку они связаны с половиной «удвоенного куба». Если воспользоваться иррациональными числами, то длина и ширина искомого бака окажутсяравнымитогда как его высота составит

19. На рисунке искомая пятиконечная звезда окрашена целиком.

20. На рисунке показано, как можно разрезать греческий крест на пять частей, из которых удается сложить два креста одинаковых размеров. Проведите разрезы, как показано на кресте, изображенном слева, а затем сложите маленькие части, как показано на рисунке справа.

21. [Исходную головоломку решить невозможно, если не прибегнуть к мошенничеству, перевернув кубики с цифрами 6 и 9 вверх ногами. Одна из особенностей этой головоломки состоит в том, что любая подобная перестановка двух кубиков сразу же делает задачу разрешимой. Фактически любое нечетное число перестановок дает тот же самый эффект, тогда как любое их четное число оставляет, как и прежде, головоломку неразрешимой. Читателей, которых заинтересует математическая структура, лежащая в основе этой головоломки, мы отсылаем к классической работе W. W. Johnson, W. Е. Story. Notes on the 15-Pnzzle (American Journal of Mathematics,v. 2, 1879, p. 397), а также сборникам по занимательной математике. – M. Г.]

Остальные три задачи решаются следующим образом.

Вторая задача.К расположению, указанному в условии, можно прийти за 44 хода: 14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7, 4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13, 9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14, 10, 6, 2, 1.

Третья задача.К расположению, приведенному в условии, удается прийти за 39 ходов: 14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14, 13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

Четвертая задача.Магический квадрат удается получить за 50 ходов: 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

22. Мэри Энн была матерью больного мальчика.

23. Если Ноббс может засадить борозду картошкой за 40 мин, то 6 борозд он засадит за 240 мин. Поскольку он засыпает картошку землей с той же скоростью, то он в состоянии полностью обработать 6 борозд за 480 мин, или за 8 ч. Хоббс, работая с другими шестью бороздами, засеет их за 120 мин (одну борозду – за 20 мин), а засыплет за 360 мин, что в сумме даст 480 мин, или 8 ч. Таким образом, проработав 8 ч, каждый из них сделает одинаковый объем работы; поэтому каждому из них следует получить по 2 доллара 50 центов.