Чтение онлайн

сторонником вашей точки зрения, в справедливости которой вы, конечно же, не сомневаетесь. Выбор средств убеждения бывает у абитуриентов весьма широким. Нет смысла их перечислять, ибо все они, за небольшим исключением, напрасны. Позднее на апелляции абитуриент будет утверждать, что отвечал правильно и полно. Он будет и впредь уверен в своей правоте, если не усвоит, что, во-первых, вопрос «Почему?» экзаменатор задает не из любопытства и не из вредности, а из желания добиться от вас полного ответа на вопрос или обоснованного решения задачи. Во-вторых, вы обязаны знать, что в математике существует ровно шесть различных ответов на вопрос «Почему?». Вот эти ответы:

1) по условию (теоремы, задачи);

2) по сделанному нами предположению;

3) по определению;

4) в силу такой-то аксиомы;

5) в силу такой-то теоремы (следствия, свойства, формулы, соотношения, леммы — тоже являются теоремами);

6) приступаем к доказательству.

Только шестой из этих вариантов позволяет начать ответ словами «Потому что...». Это и означает, что вы приступаете к доказательству. Но даже в этом случае лучше этих слов не произносить, а сказать: «Сейчас мы это утверждение докажем.». Тем более не следует говорить: «Потому что.», когда требуется одна из первых пяти форм ответа на вопрос «Почему?».

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему

(a)^2 = a?

Ответ. По определению квадратного корня.

Пример 2. Почему

Ответ. По определению логарифма.

Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а >= 0) называют неотрицательное число a , квадрат которого равен а.

А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а /= 1) называют такое число loga N, что основание а в степени loga N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.

Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

Ответ. По определению параллельных прямых.

Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?

Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.

Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?

Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.

Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; mа — медиана стороны а; lA — биссектриса угла А; ha — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.

Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.

Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.

Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.

Площадь четырехугольника: S = 1/2 d1d2 sin , где d1 и d2 — длины его диагоналей, а — угол между ними.

При решении планиметрических задач приходится применять производные пропорции.

Если

Если

1.1. Вокруг правильного треугольника ABC описана окружность O радиусом R. Окружность O1 касается двух сторон AB и BC треугольника и окружности O. Найдите расстояние от центра окружности О1 до вершины А.

1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом при основании больше радиуса вписанного в него круга на m. Определите основание треугольника и радиус описанной окружности.

1.3. Докажите, что радиус окружности, делящей пополам стороны треугольника, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника.

1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис. Найдите отношение площади данного треугольника к площади образовавшегося треугольника, если стороны данного треугольника относятся как p : q : l.

1.5. Даны углы A, B, C треугольника ABC. Пусть окружность касается сторон BC, AC и AB треугольника соответственно в точках A1, B1, C1. Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC.