Чтение онлайн

? = (1,2,3,……… n). (1.8)

Из свойства 6 и выражения (1.6), очевидно, что размах симметричной пары равен удвоенному значению шага симметрии.

Исходя из данного определения и исследованных выше свойств симметричных пар, сформулируем следующую лемму.

Лемма 1: Любое натуральное число n, начиная с числа 1, имеет симметричные пары в количестве, равном самому значению натурального числа.

Доказательство. Из свойств натуральных чисел N+0 известно, что они являются арифметической прогрессией, такой при которой любое натуральное число можно записать в виде

ni+1 = ni + 1, (1.9)

Исходя из вышесказанного в (1.9) можно записать

ni+? = ni + ?, (1.10)

где ? число равное 1, 2, 3.….

Тогда можно записать, что и

ni-? = ni – ?. (1.11)

Отсюда имеем

ni = ni-? + ?. (1.12)

Следовательно, из (1.8) и (1.9) получаем

ni – ni– ? = ni+? – ni = ?. (1.13)

Далее если принять ni+? = b, ni-? = a, ni = n, то в новых обозначениях можно записать

n – a = b – n = ?. (1.14)

Таким образом, мы получили выражение (1.2), откуда следует (1.3), т.е.

a = n – ?; b = n + ?.

Ввиду того, что ? = 1, 2, 3.…. n, получаем количество пар a и b равное n. Так как указанные пары удовлетворяют свойствам 1) – 8), следует, что они симметричны, а это и доказывает лемму.

В результате, выше определено понятие симметричных пар и их шаг симметрии, которые представляют особый интерес исследования настоящей работы.

2. Исследование множеств симметричных пар

Рассмотрим множество C симметричных пар числа n, такое что,

C = {an,…ai,…a3, a2, a1, b1, b2, b3,… bi…bn }, (2.1)

где ai, bi. – симметричные пары, удовлетворяющие свойствам 1) – 8).

Для примера рассмотрим число 10. Тогда множество C симметричных пар числа 10 будет C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Представим множество симметричных пар C в виде двух других множеств A и B, которые состоят из множества

A = {a1, a2, a3,…an } и множества B = {b1, b2, b3,…bn }. (2.2)

Очевидно C = A U B.

Для нашего примера эти множества будут

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

Парные элементы приведенных множеств также удовлетворяют свойствам 1) – 8). Очевидно, что мощности обоих множеств |A| и |B| одинаковы и равны n.

Следует заметить, что эти множества взаимосвязаны, при чем, элементы в указанных множествах имеют взаимно однозначное соответствие одного множества к другому, и они в совокупности составляют симметричные пары (ai, bi).

Действительно, имеем a1 = n–1, a2 = n – 2, a3 = n – 3, …ai = n – i, …….. an– 3 = 3, an– 2 = 2, an– 1 = 1, an = 0, и b1 = n + 1, b2 = n + 2, b3 = n + 3, …….. bi = n + i,……. bn– 1 = n + n – 1, bn = n + n, то есть, такое взаимное соответствие можно выразить следующей зависимостью

ai = n – i, bi = n + i, (2.3)

где i = 1,2,3, …….n.

Следовательно, для симметричных пар выражение (1.5) поэлементного соответствия будет выглядеть

ai + bi = 2n и bi – ai= 2i, (2.4)

где i = 1,2,3, …….n.

Отсюда видим, что шаг симметрии равен номеру симметричной пары, т.е. ?=i.

Анализируя выражения (2.3) и (2.4), можно видеть, что множества A и B в свою очередь состоят из подмножеств нечетных и четных чисел, т.е. можно записать

A = nchA U chA;

B = nchB U chB, (2.5)

где nchA и chA – подмножества нечетных и четных чисел множества A;