Чтение онлайн

Мы имеем счастье жить в сложном и удивительном нелинейном мире. Огромную, вероятно, до сих пор не вполне осознанную, роль в его познании сыграли компьютеры, позволившие исследовать множество нелинейных математических моделей, описывающих нашу реальность. Возникла положительная обратная связь. Результаты компьютерного анализа приводят к рождению новых теорий, понятий, моделей. Изучение этих моделей с помощью вычислительных машин приводит к рождению теорий и моделей нового поколения и т.д.

Одним из принципиальных результатов этой "гонки", увлекшей немалую часть научного сообщества, стала концепция самоорганизации. Обратим внимание еще раз на картинки течения жидкости. В них видна организация и упорядоченность, симметрия. Отсюда напрашивается вывод, что для их математического описания нужно небольшое число переменных. Но в каждом случае это свои переменные. Какие они, как возникают, подчиняя себе остальные степени свободы, как изучать их динамику, исследует междисциплинарный подход, называемый теорией самоорганизации или синергетикой. Само слово и принципиальная роль в создании этого подхода принадлежат немецкому ученому Г.Хакену.

В самоорганизации, появлении упорядоченности, важную роль играют диссипативные процессы – диффузия, вязкость, теплопроводность и множество других. Разумеется, физики всегда понимали роль этих явлений – без трения нам бы не удалось ходить пешком, а без вязкости двигаться на весельной лодке. Однако представление о том, что эти процессы, уничтожающие порядок в простейших линейных системах, могут быть в нелинейном мире "архитекторами упорядоченности", до сих пор кажется парадоксальным. Чтобы подчернуть необычность этого взгляда, один из основоположников теории самоорганизации И.Пригожин назвал упорядоченность, возникающую в открытых нелинейных системах, далеких от равновесия, и существенно связанную с рассеянием энергии, вещества или информации, диссипативными структурами.

В ходе математического моделирования такие структуры были, вероятно, впервые найдены в 1952 г. Аланом Тьюрингом. Они были обнаружены в ходе математического моделирования одного из наиболее сложных и интересных биологических явлений – морфогенеза. Морфогенез или клеточная дифференцировка замечателен тем, что в ходе деления и развития клеток, содержащих одинаковую генетическую информацию, возникает сложнейшая организация, каковой является организм.

А.Тьюринг предположил, что в основе морфогенеза лежат химические процессы. Распределение гипотетических химических реагентов – активатора и ингибитора в первоначально однородной ткани, приобретая неоднородность, может "указать" клеткам, какие свойства в каких пространственных областях им следует приобретать. Уравнения, предложенные Тьюрингом, имели вид

ut = D1

u + f (u,v)

vt= D2

u + g (u, v) (1)+

Здесь u – концентрация активатора, v – ингибитора, D1 и D2 – соответственно коэффициенты диффузии первого и второго вещества, f(u, v) и g(u, v) – нелинейные функции, определяющие кинетику реакций между активатором и ингибитором,

– оператор Лапласа (), традиционно возникающий при моделировании диффузионных процессов.

После некоторого переходного периода возникали пространственно-неоднородные стационарные (т.е. не зависящие от времени) диссипативные структуры. Примерно такие, как показано на рис.12. Когда ответ известен, его можно пояснить на пальцах. Коэффициент диффузии активатора обычно выбирается существенно меньше, чем ингибитора. Поэтому последний "не успевает" стабилизировать процессы во всей области и "уследить" за активатором.

Рис. 12. Типичный пример стационарной диссипативной структуры в двухкомпонентной среде типа реакция-диффузия. Такие структуры возникают при математическом моделировании морфогенеза, описании ряда химических реакций, неустойчивостей в полупроводниках, расселении биологических видов по ареалу и во многих других задачах.

Тем не менее, возникновение таких структур требует достаточно тонкого взаимодействия положительных и отрицательных обратных связей. Первые должны сделать пространственно-однородное состояние неустойчивым и обеспечить возможность рождения структур. Вторые нужны, чтобы стабилизировать процессы вдали от равновесия и задать диапазон, в котором будут меняться концентрации.

В XX в. теория управления, кибернетика, экономика, социология и множество других дисциплин огромное внимание уделили механизмам, обеспечивающим отрицательные обратные связи. Именно они во множестве ситуаций позволяют сохранить "статус кво". Положительные обратные связи, на наш взгляд, оказались недооценнеными. Однако вначале появились оригинальные простейшие производственные технологии, где важно обеспечить спонтанный уход от равновесия, а затем и социальные, политические, экономические технологии, ориентированные на эти связи. Ярким примером успеха такого подхода влиятельные американские экономисты считают создание и развитие Кремниевой долины в Калифорнии, ставшей "законодателем мод" в микроэлектронике.

Возникает соблазн изучить действие нелинейной положительной обратной связи "в чистом виде", не привлекая каких-либо усложняющих факторов и отвлекаясь от множества подробностей, связанных с описанием отдельных систем. Эта работа и была проведена упоминавшейся научной школой в Институте прикладной математики, МГУ и МФТИ, к которой и относят себя авторы этой книги.

Наиболее яркими и важными оказались результаты исследования нелинейной среды, в которой есть только два конкурирующих процесса. Это нелинейный источник, отражающий положительную обратную связь – Q(T), и диссипативный процесс, нелинейность которого определяется коэффициентом k(T)

Tt = (k(T)Tx)x + Q(T) (2)

Если эти функции имеют степенной вид:

.

Q(T) = q0

, k(T) = k0

, k0, q0,> 0,>0 (3)

то модель (2) называют моделью тепловых структур. Название связано с ее происхождением – первоначально она представлялась как упрощенная модель ряда процессов в физике плазмы и в теории управляемого термоядерного синтеза. Однако генезис модели сейчас не важен и ее вполне можно трактовать как феноменологическое описание распространения информации о некоторой проблеме в научном сообществе.

При такой интерпретации "пространственная координата" x характеризует интенсивность контактов "удаленность друг от друга" членов научного сообщества, переменная t – время, T – плотность информации в научном сообществе. Смысл нелинейных зависимостей также весьма прост. Растущая функция Q(T) отражает тот факт, что чем больше мы знаем, тем больше шансов узнать что-то еще. Нелинейность поясняет простая притча:"Если у тебя есть яблоко, и ты отдал его мне, то яблок у тебя не осталось. Но если у нас есть по идее, и мы рассказали их друг другу, то у каждого стало по две идеи." Степенная зависимость k(T) отражает тот простой факт, что если не о чем рассказывать, то информация не раcпространяется k(0)=0, а чем значительнее достижения, тем быстрее узнает о них сообщество.

Обсудим ряд свойств модели (2) и (3). Первый парадоксальный результат можно получить, предположив, что все члены сообщества одинаково информированы – Tx=0. Тогда

.

dT/dt = q0

, T(0) = T0 (4)

гдеT0 – плотность информации в начальный момент времени. Решение этого уравнения существует только конечный промежуток времени, определяемый начальным значением T(0) (см. рис.13). После этого в игру должны вступать другие стабилизирующие факторы, и следует переходить к другим моделям (как мы увидим в четвертой главе, именно такая ситуация возникает при феноменологическом описании демографических процессов). Обратим внимание на замечательный характер кривых, соответствующих решениям уравнения (4). В течение длительного времени (специалисты называют его квазистационарной стадией) функция T почти не меняется, кажется, что вообще ничего не происходит. Но вблизи момента времени tf, называемого временем обострения, неустойчивость приобретает взрывной характер. Стандартный алгоритм прогнозирования, до сих пор применяемый в социальных науках – "посчитай на сколько процентов изменялась величина за предыдущий промежуток времени; чтобы получить будущее изменение, надо домножить этот процент на текущее значение". Знаменитый прием планирования "от достигнутого" – здесь неприменим.