Чтение онлайн

372

А если из двух возросших величин мы вычтем соответственно основание и степень, то получим в остатке два приращения, а именно 0 и и т.д.,

а если оба приращения разделить на общий делитель «о», то получим частные

которые, следовательно, являются показателями соотношения приращений. До сих пор я предполагал, что х возрастает, что х обладает действительным приращением, что о есть нечто [определенное]. и я все время исходил из этого предположения, без которого я не смог бы сделать ни одного шага вперед. На основании этого предположения я получаю приращение х n, в состоянии сравнить его с приращением х и нахожу соотношение между двумя приращениями. Теперь я прошу разрешить мне сделать новое предположение, прямо противоположное первому, т. е. я предположу, что нет никакого приращения х или что о есть ничто; это второе предположение опровергает мое первое, несовместимо с ним и, следовательно, со всем тем, что им предполагается. Тем не менее я прошу разрешения сохранить nx n – 1— выражение, полученное благодаря моему первому предположению, необходимо обусловленное таким предположением, причем получение его без первого предположения было бы невозможно. Все это представляется весьма непоследовательным способом аргументации, и притом таким, который не допускался бы в отношении вопросов о божественном.

15. Нет ничего более очевидного, как то, что из двух несовместимых предположений нельзя непосредственно вывести правильное заключение. Правда, можно предположить все что угодно. Но ведь нельзя предполагать то, что может уничтожить первое предположение; или же, если вы так поступаете, то должны начать de novo. Следовательно, если вы предполагаете, что увеличения исчезают, т. е. что увеличений нет, то вы должны начать снова и посмотреть, что следует из такого предположения. Но отсюда не следует ничего, что послужило бы вашей цели.

373

Таким путем вы вообще не сможете прийти к сделанному вами выводу или, проводя анализ конечных величин, успешно осуществить то, что знаменитый автор называет изучением первого или последнего отношения зарождающихся или исчезающих величин. Я вновь повторяю: вы свободны делать любые возможные предположения; и вы можете опровергнуть одно предположение при помощи другого; но тогда вы не можете сохранить следствия или какую-либо часть следствий вашего первого предположения, опровергнутого таким образом. Я признаю, что можно заставить знаки обозначать что-либо или ничто, и, следовательно, в первоначальной записи (х+0) 0 может означать либо приращение, либо нуль. Но затем, какое бы из этих двух значений вы ему ни придали, вы должны рассуждать последовательно в соответствии с этим значением, а не исходить из двойного значения; делать так было бы явным софизмом. Рассуждаете ли вы при помощи слов или символов, правила здравого смысла остаются теми же. Нельзя также предположить, что вы сможете присвоить себе привилегию — быть свободным от этих правил в математике.

16. Если вы сначала допускаете, что какая-то величина возрастает на нуль и в выражении (х+0) 0 обозначает нуль, то, в соответствии с этим допущением, раз не будет приращения основания, не будет и приращения степени; и, следовательно, из всех членов ряда, составляющего степень бинома, останется только первый член; поэтому при помощи такого способа вы никогда не получите законным образом необходимое вам выражение флюксии. Отсюда вы вынуждены ступить на ложный путь, действуя до определенного момента на основании допущения приращения, а затем сразу же изменяя свое допущение на прямо противоположное (отсутствие приращения). Может показаться, что при осуществлении этого в определенный момент или период требуется большое искусство, поскольку, если бы это второе допущение было сделано до деления на общий делитель о, все бы мгновенно исчезло, и на основании своего допущения вы ничего бы не получали; в то время как благодаря этой уловке — сначала разделить, а потом уже изменить свое допущение, вы сохраняете 1 и nх n-1. Но, несмотря на всю эту ловкость, проявленную для прикрытия ошибки, последняя остается той же самой. Ибо независимо от того, сделаете вы это раньше или позже, как только сделано второе допущение или предпо-

374

ложение, в тот же самый миг уничтожается и полностью исчезает прежнее допущение и все то, что вы получили при его помощи. и это справедливо в отношении всего, каков бы ни был объект изучения, во всех сферах человеческого познания; я полагаю, что в любой другой из этих сфер люди едва ли бы допустили подобный ход рассуждений, принятый для доказательства в математике.

17. Может быть, уместно заметить, что способ нахождения флюксии прямоугольника, состоящего из двух непрерывных переменных величин [флюент], в том виде, как он изложен в «Трактате о квадратурах», отличается от вышеизложенного, взятого из второй книги «Начал», и в сущности является тем же самым способом, который используется в calculus differentialis *. Ибо предположить какую-либо величину бесконечно уменьшенной и вследствие этого отбросить ее — означает по сути дела отбросить бесконечно малую величину; и действительно, требуется поистине чудесная острота восприятия, чтобы суметь провести различие между исчезающими приращениями и бесконечно малыми дифференциалами. Конечно, можно возразить, что величина бесконечно уменьшенная становится нулем и поэтому ничто не отбрасывается. Но в соответствии с общепринятыми принципами очевидно, что ни одна геометрическая величина не может быть никакими делениями или делениями делений совершенно исчерпана или сведена к нулю. Если принять во внимание различные хитрости и уловки, примененные великим автором метода флюксий — как разносторонне он трактует свои флюксии и какими различными способами пытается доказать одно и то же положение, — то есть основание считать, что он сам сомневался в справедливости своих доказательств и не был доволен ни одним понятием настолько, чтобы придерживаться его твердо. По крайней мере ясно одно: ему самому пришлось удовлетвориться некоторыми определенными положениями, но тем не менее он не мог взять на себя доказать их другим **. Я не берусь определить, возникла ли эта удовлетворенность на основании экспериментальных (tentative) методов или индукции, что часто признается математиками (например, д-ром Уоллесом в его «Арифметике бесконечно малых»). Но как бы ни обстояло дело в отношении автора, представляется, что его последователи проявили себя более ревностными в применении его метода, чем точными в изучении его принципов.

* «Analyse des infiniment petits», part 1, prop. 2 [7].

** См. письмо к Коллинзу от 8 ноября 1676 г.

375

18. Любопытно заметить, какую тонкость и изобретательность проявляет этот великий гений в борьбе с непреодолимым затруднением и через какие лабиринты пытается он спастись от учения о бесконечно малых величинах, на которое, хочет он того или нет, он повсюду натыкается и которое признается и принимается другими без малейшего колебания. Лейбниц и его последователи в своем calculus differentialis ни в коей мере не стесняются, сначала предполагая, а затем отбрасывая бесконечно малые величины, и любой мыслящий человек, не предубежденный заранее в пользу этих вещей, может легко себе представить, каковы могут быть ясность восприятия и правильность суждения при такой логике! Мы уже рассматривали понятие, или идею, бесконечно малой величины как объекта, непосредственно воспринимаемого умом *. Теперь я ограничусь лишь замечанием относительно того, каким способом избавляются от таких величин, а это делается совершенно бесцеремонно. Подобно тому как в методе флюксий главная задача, прокладывающая путь всему остальному, заключается в том, чтобы найти флюксию произведения двух неопределенных величин, в calculus differentialis (методе, который считается заимствованием вышеупомянутого, с некоторыми незначительными изменениями) главное состоит в том, чтобы получить дифференциал такого произведения. Правило для этого получается путем отбрасывания произведения, или прямоугольника, дифференциалов. и вообще считается, что ни одна величина не возрастает и не уменьшается от прибавления своей бесконечно малой и что, следовательно, от такого отбрасывания бесконечно малых не может произойти ошибки.

* § 5 и 6.

19. и тем не менее представляется, что, если в посылках допускаются какие-либо ошибки, следует ожидать соответствующих им ошибок в заключении, имеем ли мы дело с конечными пли бесконечно малыми величинами; и в силу этого [9] геометрии требует, чтобы ничем не пренебрегали и ничего не отбрасывали. В ответ на это вы, возможно, скажете, что заключения правильны и истинны и что поэтому принципы и методы, на основе которых они

376

получены, тоже должны быть правильны и истинны. Но этот обратный (inverted) способ доказательства правильности принципов на основе выводов настолько же присущ вам, господа, насколько противоречит правилам логики. Истинность вывода ни в коей мере не докажет правильность ни формы, ни сущности силлогизма, ввиду того что заключение могло быть неверным или посылки ложными, а вывод тем не менее будет правильным, хотя и не благоцаря такому заключению или таким посылкам. Я утверждаю, что в любой другой науке люди доказывают свои выводы на основе принципов, а не свои принципы на основе выводов. Но если в своей науке вы разрешаете для себя этот неестественный ход рассуждений, то в качестве последствия такого шага вам придется взять на вооружение индукцию и распроститься со [строгими] доказательствами. А если вы пойдете на это, ваш авторитет уже не будет более прокладывать путь вперед в вопросах разума и науки.

20. У меня нет разногласий с вами относительно ваших выводов, они у меня есть только относительно вашей логики и метода. Как вы проводите доказательство? С какими предметами вы хорошо знакомы и ясно ли вы их себе представляете? На основе каких принципов вы действуете, насколько они правильны, и как вы их применяете? Необходимо помнить, что меня интересует не истинность ваших теорем, а только способ их доказательства, законный он или незаконный, ясный или туманный, теоретический (scientific) или экспериментальный. Чтобы избежать всякой возможности вашего неправильного суждения обо мне, я прошу разрешения повторить и я вновь настаиваю, что я рассматриваю геометра-аналитика как логика, т. е. то, каким образом он рассуждает и доказывает, а его математические выводы рассматриваю не сами по себе, а в их посылках, не в отношении того, являются ли они истинными или ложными, полезными или не имеющими значения, а лишь каким образом они выводятся из таких принципов и при помощи таких приемов выведения. А поскольку может показаться необъяснимым парадоксом, что математики выводят правильные положения, исходя из ложных принципов, могут прийти к правильному выводу и тем не менее ошибаться в посылках, я попытаюсь конкретно объяснить, почему это может произойти, и покажу, как ошибка может породить истину, хотя не может породить науку.

377

21. Следовательно, для того чтобы выяснить это положение, предположим, например, что надо провести касательную к параболе, и рассмотрим решение этой задачи при наличии бесконечно малых дифференциалов. Пусть АВ — кривая, абсцисса АР=х, ордината РВ=у, приращение абсциссы PM=dx, приращение ординаты RN=dy. Теперь допустим, что кривая представляет собой многоугольник и, следовательно, BN, приращение, то есть разность кривой, является отрезком прямой, совпадающим с касательной, а дифференциальный треугольник BRN подобен треугольнику ТРВ, тогда подкасательная РТ будет четвертым членом пропорции RN: RB = РВ..., т.е. dy : dx = y... Отсюда подкасательная будет равна y dx/dy.

Но здесь и содержится ошибка, возникшая в результате вышеупомянутого допущения, не соответствующего действительности, вследствие чего величина РТ получается больше, чем она есть на самом деле: ибо в действительности не треугольник RNB подобен РВТ, а треугольник RLB, и поэтому первым членом пропорции должен быть не RN, a RL, т. е. RN+NL, т. е. dy+z; отсюда истинным выражением для подкасательной должно было бы быть y dx/dy+z. Следовательно, когда dy было сделано делителем, была допущена ошибка, так как была взята меньшая, чем на самом деле, величина, и эта ошибка равнялась z, т. е. NL, отрезку, заключенному между кривой и касательной. Далее, в соответствии с характеристикой кривой, уу=рх, где р — параметр, отсюда в соответствии с правилом дифференцирования 2y dy=p dx и dy= p dx/2y. Но если умножить (y+dy) само на себя и сохранить все произведение, не отбрасывая площадь дифференциала, тогда, если подставить возросшие величины в уравнение кривой, окажется,

378

что действительно . Следовательно, была допущена ошибка, когда сочли, что , приведшая к увеличению истинного значения и вытекающая из ошибочного правила дифференцирования. и величина этой второй ошибки Следовательно, обе ошибки равны друг другу и взаимно уничтожаются; первая ошибка, приведшая к уменьшению истинного значения выражения, исправлена второй ошибкой, увеличивающей его значение.

22. Если допустить только одну ошибку, не найдешь правильного решения задачи. Но благодаря двойной ошибке доходишь до истины, хотя и не до науки. Ибо нельзя назвать наукой тот путь, при котором двигаешься вслепую и добираешься до истины, не зная как и при помощи каких средств. Для доказательства равенства обозначим BR или dx как m, a RN или dy как n. На основании 33-й теоремы первой книги «Конусов» [грека] Аполлония [9] и подобия треугольников следует, что 2х : у, как . Аналогично из характеристики параболы следует, что (уу+2у n+ nn)=хр+ mр, а 2у n+ nn= mр; вследствие чего и поскольку будет равно х. Следовательно, подставляя эти значения вместо mи х, мы получим