Чтение онлайн

На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...

Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V->? соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)

Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.

Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)

Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.

Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.

В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.

Нас окружают повторяющиеся процессы. Их повторение происходит не в клинически чистых условиях, но в поле воздействия многих случайных влияний. Искажения возникают при каждом повторении одной и той же операции. В математической модели такое искажение может быть учтено обращением к генератору случайных чисел при каждом новом повторе. Сам процесс повторения со случайным отклонением можно назвать «алеаторным повторением».

Суть идеи «алеаторного повторения» поясним примером обычного производственного процесса. Пусть одни и те же процессы и процедуры изо дня в день повторяются на предприятиях в Санкт-Петербурге и в Тбилиси. Эти процессы повторяются не в «безвоздушном стерильном пространстве», но в атмосфере постоянного влияния внешних факторов — от макроэкономических до микробиологических. В результате бизнес-процессы становятся уникальными настолько, что структуры компаний в Санкт-Петербурге и в Тбилиси существенно отличаются друг от друга притом, что обе компании производят и поставляют на рынок один и тот же продукт.

Модель, которая может производить разные структуры при сохранении типовых процессов, должна включать случайные вмешательства, приходящие извне. Такую математическую модель мы можем реализовать при построении фракталов. На каждом шаге построения фрактала мы станем обращаться к генератору случайных чисел.

Новый класс фрактальных форм мы назовем «алеаторными фракталами».

Алеаторные фракталы отличаются от фракталов, построенных с помощью СИФ-алгоритмов тем, что операции на каждом шаге построения алеаторных фракталов остаются одинаковыми.

СИФ-алгоритм чередует операции из заданного перечня операций с определенной вероятностью. Так, погода может изменить наши планы на выходные дни, но в течение рабочей недели возможность изменения плана весьма ограничена.

Гибкость «выходного дня» — это желанная модель для всякого трудового процесса. Между тем реальный производственный процесс организован более жестко.

Последовательность операций фиксирована. Операции повторяются циклически. Повторное выполнение одной и той же операции сопровождается внешними флуктуациями. Для моделирования влияния внешнего «шума» добавим генератор случайных чисел. При больших случайных флуктуациях любая геометрическая форма будет ими рассеяна. Если флуктуации пренебрежимо малы, то они не изменят исходную форму сколько-нибудь заметным образом.

Однако между этими двумя крайностями существует область, в которой незначительное внешнее воздействие изменяет форму фрактала. Это открытие послужило основанием для того, чтобы выделить новое семейство фрактальных форм и обозначить его термином «алеаторные фракталы».

Итак, построение алеаторных фракталов сводится к построению любых фракталов, как линейных, так и нелинейных, по любому детерминированному алгоритму, включая СИФ-алгоритм, с тем отличием, что после каждой операции встроено обращение к генератору случайных чисел (оператору Random). В простейшем случае генератор производит возмущения, которые подчиняются нормальному распределению случайных величин, а их интенсивность характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием u (х) и среднеквадратичным отклонением ?(x). Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины, а среднеквадратичное отклонение — мера рассеяния случайной величины от его математического ожидания. Для иллюстрации того, как работают генераторы случайных чисел, рассмотрим два примера, которые представляют в наше время лишь исторический интерес, но позволяют «почувствовать» то, что представляет собой нормальное распределение и смысл процесса алгоритмизации чистой случайности.

Примеры типовых фракталов: (а) треугольник Серпинского; (б) лист папоротника; (в) ковер Менгера; (г) раковый сфероид. Первые три фрактала (а-в) получены с помощью систем итерированных функций. Первый ряд представляет исходные фракталы без влияния внешних воздействий. Второй ряд — те же фракталы в присутствии внешнего шума с ?2 = 10. Третий ряд — в присутствии внешнего шума с ?2 = 100. (Н. Ahammer, T.T.J. DeVaney. The influence of noise on the generalized dimensions. Chaos, Solitons & Fractals Volume 26, Issue 3, November 2005, Pages 707-717)

Прежде всего, рассмотрим так называемую «доску Гальтона». Английский ученый Фрэнсис Гальтон создал первый экземпляр своего «квинкункса» в 1873 году. Бросая свинцовые шарики в квинкункс, Гальтон моделировал вероятностную систему, в которой каждый шарик с вероятностью 50:50 отправится в одну или другую сторону от «гвоздя», с которым сталкивается, и таким образом получается колоколообразное (нормальное) распределение шариков. Обратите внимание, что здесь мы имеем дело с более чем одноразовым взмахом крыльев бабочки: пути двух соседних свинцовых шариков могут совпасть или разойтись на каждом уровне. Тем не менее, как бы ни вел себя каждый шарик, на дне доски Гальтона появляется колоколообразная форма из множества брошенных на гвозди шаров. Это и есть так называемое «нормальное» распределение случайной величины. Вероятность того, что n-й шарик окажется в k-м столбике, равна

При достаточно большом n эта формула аппроксимирует нормальное распределение.

С появлением ЭВМ появились алгоритмы компьютерной генерации случайных чисел. Одним из первых был предложен алгоритм «середины квадрата». Он был предложен в 1946 году фон Неманом. Алгоритм позволяет генерировать числа с любым числом знаков, соответствующим возможности ЭВМ.

Метод очень прост. Допустим, что нужны четырехзначные числа. Выбираем первое число Х0 произвольно. Например, X0 = 8219. Возводим его в квадрат. Получится восьмизначное число 67 551 961. Извлекаем средние цифры: 5519. Следующим числом последовательности является X1 = 5519. Возводим в квадрат 5519, получаем 30459361. Следующее случайное число Х2 = 4593. Если первые из средних цифр оказываются нолями, то получается число с меньшим количеством знаков. Например, Х22 =21095 649, Х3 = 956. Возводя его в квадрат, нужно получить восьмизначное число, дописав спереди ноли Х32 = 00913936, так что Х4 = 9139 и т. д. Производные случайные числа Yn, равномерно распределенные в интервале от ноля до единицы, получаются из чисел Хn по формуле Yn = Хn/1000, где n = 0, 1, 2, 3, ..., так что Y0 = 0,8219; Y1 = 0,5519; Y2 = 0,4593 и т. д.

На первый взгляд метод кажется хорошим. Однако тщательное исследование показало, что это далеко не так. Главный недостаток метода состоит в том, что при некоторых начальных числах последовательность «зацикливается». Выяснилось, например, что в классе четырехзначных чисел последовательности часто завершаются циклом 6100, 2100, 4100, 8100, 6100. Период цикла равен всего-навсего четырем, что, конечно, никуда не годится. Существует число, которое сразу же воспроизводит самое себя. Это 3792 (37922= 14 379 264). Воспроизводит себя также ноль, и очень часто последовательности, полученные методом середины квадрата, вырождаются в ноль. Поэтому метод середины квадрата представляет в наше время лишь исторический интерес. В настоящее время разработано множество более совершенных методов. При этом оказывается, что для ЭВМ различных конструкций оптимальными являются разные генераторы.