Теорема века. Мир с точки зрения математики
Шрифт:
Определение сложения. Я предполагаю, что предварительно была определена операция x + 1, состоящая в прибавлении числа 1 к данному числу x. Это определение, каково бы оно ни было, не будет играть никакой роли в последующих рассуждениях.
Дело идет теперь об определении операции x + a, состоящей в прибавлении числа a к данному числу x.
Предположим, что определена операция
x + (а - 1).
Тогда операция x + а будет определена равенством
x + а = [x + (а– 1)] + 1. (1)
Таким образом, мы узнаем, что такое x + а, когда будем знать, что такое x + (а– 1); а так как я вначале предположил, что известно, что такое x + 1, то можно определить последовательными «рекурренциями» операции x + 2, x + 3 и т. д. [2]
2
Термином «рекурренция» (recurrence) обозначается логическая операция возврата к своему началу. – Прим. ред.
Это определение заслуживает некоторого внимания, так как оно имеет особенную природу, отличающую его от определения чисто логического; в самом деле, равенство (1) содержит бесчисленное множество различных определений, и каждое из них имеет смысл только тогда, когда известно другое, ему предшествующее.
Свойства сложения. Ассоциативность. Я утверждаю, что
а + (b + с) = (а + b) + с.
В самом деле, теорема справедлива для c = 1; в этом случае она изображается равенством
а + (b + 1) = (a + b) + 1.
А это – помимо различия в обозначениях – есть не что иное, как равенство (1), при помощи которого я только что определял сложение.
Предположим, что теорема будет справедлива для с = ; я говорю, что она будет справедлива и для c = + 1; пусть, в самом деле,
(а + b) + = а + (b + );
отсюда следует
[(a + b) + ] + l = [a + (b + )] + l
или в силу определения (1)
(а + b) + ( + l) = a + (b + + 1) = a + [b + ( + 1)],
а это показывает с помощью ряда чисто аналитических выводов, что теорема верна для + 1.
Но так как она верна для с = 1, то последовательно усматриваем, что она верна для с = 2, для с = 3 и т. д.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a + 1 = 1 + a.
Теорема, очевидно, справедлива для а = 1 путем чисто аналитических рассуждений можно проверить, что если она справедлива для а = , то она будет справедлива для а = + 1; но раз она справедлива для а = 1, то она будет справедлива и для а = 2, для а = 3 и т. д.; это выражают, говоря, что высказанное предложение доказано путем рекурренции.
2. Я утверждаю, что
a + b = b + a.
Теорема только что была доказана для b = 1; можно аналитически проверить, что если она справедлива для b = , то она будет справедлива для b = + 1.
Таким образом, предложение доказано путем рекурренции.
Определение умножения. Мы определим умножение при помощи равенств
a x 1 = a
a x b = [a x (b - 1)] + a. (2)
Равенство (2), как и равенство (1), заключает в себе бесчисленное множество определений; после того как дано определение а x 1, оно позволяет определить по следовательно а x 2, а x 3 и т. д.
Свойства умножения. Дистрибутивность. Я утверждаю, что
(а + b) x с = (а x с) + (b x с).
Мы проверяем аналитически справедливость этого равенства для с = 1; а потом проверяем, что если теорема справедлива для с = , то она будет справедлива и для с = + 1.
Предложение опять доказано рекурренцией.
Коммутативность. 1. Я утверждаю, что
a x 1 = 1 x a.
Теорема очевидна для а = 1.
Проверяем аналитически, что если она справедлива для а = , то она будет справедлива и для а = + 1.
2. Я утверждаю, что
a x b = b x a.
Теорема только что была доказана для b = 1. Аналитически проверяем, что если она справедлива для b = , то она будет справедлива и для b = + 1.
Здесь я прерываю этот монотонный ряд рассуждений. Но именно эта монотонность и способствовала лучшему выделению того однообразного процесса, который мы находим на каждом шагу.
Этот процесс есть доказательство путем рекурренции. Сначала формулируется теорема для n = 1; потом доказывается, что если она справедлива для n– 1, то она справедлива и для n, и отсюда выводится заключение о справедливости ее для всех целых чисел.
Мы только что видели, как можно воспользоваться этим для доказательства правил сложения и умножения, т. е. правил алгебраического вычисления; это вычисление есть орудие преобразования, которое применяется в гораздо большем числе разнообразных комбинаций, чем простой силлогизм; но это орудие еще чисто аналитическое, оно не способно научить нас ничему новому. Если бы математика не имела ничего другого, она тотчас же остановилась бы в своем развитии; но она получает новое средство в том же процессе, т. е. в рассуждении путем рекурренции, и потому может непрерывно продолжать свое поступательное движение.