Чтение онлайн

Во–вторых, для определения минимального значения СКО доходности портфеля и соответствующих значений объёмов инвестирования воспользуемся известным в математическом анализе методом нахождения экстремума функции с использованием частных производных. В данном случае составляется система из уравнений, которые представляют собой приравненные к нулю частные производные функции

Решения данной системы уравнений относительно переменных с учётом условий и позволяют рассчитать границу достижимого множества и МО доходности портфеля с минимальным значением СКО доходности .

В–третьих, при относительно большом значении для определения достижимого множества целесообразно использовать численные методы, что обусловлено чрезмерно громоздкими конечными формулами, которые выводятся в рамках аналитической геометрии. Численные методы предполагают определение достижимого множества портфеля, например, путём последовательного перебора всех возможных сочетаний объёмов инвестирования в каждый актив при этом большое количество арифметических операций предопределяет необходимость использования вычислительной техники.

Методологически оправданным (от простого к сложному) является анализ специфики достижимых множеств портфелей как комбинации:

безрискового актива с рискованным активом;

двух рискованных активов;

трёх рискованных активов;

рискованных активов;

безрискового актива и рискованных активов;

рискованных активов и активов с фиксированной доходностью.

При анализе инвестиционных качеств перечисленных вариантов комбинаций активов будем полагать, что возможности инвестора ограничены собственным капиталом.

Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый актив и рискованный актив. На основании приведенных выше соотношений рассмотрим основные свойства портфеля, который состоит из безрискового актива и рискованного актива

где и – относительные объёмы инвестирования в безрисковый и рискованный активы соответственно; и – доходность и СКО доходности безрискового актива соответственно; и – МО и СКО доходности рискованного актива соответственно; – коэффициент корреляции доходностей безрискового и рискованного активов.

Поскольку в данном случае , СКО доходности безрискового актива равно нулю по определению, а случайная и детерминированная величины всегда не коррелированны получаем

После простых преобразований находим

Анализ соотношения (1.14) показывает, что зависимость МО доходности портфеля от СКО доходности является линейной (рис.1.2). Параметр является свободным членом в данной линейной зависимости, а отношение является тангенсом угла наклона прямой.

Рис. 1.2. Достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы

Условия и ограничивают прямую линию отрезком прямой, который пересекает ось ординат в точке, соответствующей портфелю (, , , ), и завершается точкой, соответствующей портфелю (, , , ).

Таким образом, достижимое множество портфелей, содержащих безрисковый и рискованный активы, имеет вид отрезка прямой линии, соединяющей точки и , соответствующие безрисковому активу и рискованному активу. При этом конкретное расположение портфеля на отрезке прямой зависит от соотношения относительных объёмов инвестирования в безрисковый и рискованный активы.

Достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива. Предположим, что портфель содержит два рискованных актива и . По аналогии с соотношениями (1.10) и (1.11) получаем

где и – относительные объёмы инвестирования в активы и соответственно; и – МО доходностей активов и соответственно; и – СКО доходностей активов и соответственно и ; – коэффициент корреляции доходностей активов и .

Учитывая, что , из формулы (1.15) получаем соотношения для расчёта относительных объёмов инвестирования в активы и

После преобразований соотношений (1.15) и (1.16) получаем уравнение гиперболы вида

где – координата вершины гиперболы по оси ординат

– длина действительной полуоси гиперболы или координата вершины гиперболы по оси абсцисс ;

– длина мнимой полуоси гиперболы.

В качестве примера на рис. 1.3 представлены достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и .

Рис. 1.3. Достижимые множества портфелей, содержащих два рискованных актива и , для коэффициентов корреляции , и (зависимости 1, 2 и 3 соответственно)

Условия и ограничивают гиперболу точками, которые соответствуют портфелям с одним активом (, , , ) или (, , , ).

Анализ рис. 1.3 показывает, что достижимое множество портфелей, содержащих два рискованных актива, при располагается на дуге гиперболы (кривая 1) и при – на дуге гиперболы (кривая 2).

Портфели, соответствующие вершинам гипербол и , обладают минимально возможными значениями СКО доходностей из достижимых множеств и соответственно, причём наименьшее СКО доходности имеет место при .

В частном случае, когда активы и представляют собой совокупности ценных бумаг одного и того же эмитента, но приобретённых по разной цене (по этой причине активы отличаются МО и СКО доходности), коэффициент корреляции доходностей активов равен единице, т.е. . Тогда выражение для СКО доходности портфеля преобразуется к виду

и достижимое множество вырождается в отрезок прямой (на рис. 1.3 прямая 3). Уравнение отрезка прямой имеет вид

где – тангенс угла наклона прямой; – свободный член линейной зависимости.

Координаты вершины гиперболы и соответствующие объёмы инвестирования в активы и можно определить и методом выделения экстремума функции с использованием частных производных.

Принимая во внимание, что , преобразуем выражение для СКО доходности портфеля к виду