Чтение онлайн

Берлиоз и Давид сошли с пути, проложенного старыми французскими мастерами: они ввели во французскую музыку элемент симфонический. Сначала было гораздо больше подражателей у Давида; но позднее все сильнее стало чувствоваться влияние Берлиоза.

Общий взгляд на эволюцию математических наук. От эпохи Возрождения до начала XIX века прогресс математики шел путем, который теперь нам представляется сравнительно несложным, ибо ход развития определялся небольшим числом руководящих идей, и ученые этого периода, казалось, все стремились вперед, не оглядываясь назад. Они создали целый ряд доктрин, запаса которых должно было хватить на тем большее время, даже для нужд высшего образования, что на усвоение курса стал требоваться значительный срок. И если судить только по предметам, которыми фактически ограничивается преподавание, особенно в первые три четверти столетия, то дело предыдущих столетий представится несравненно более крупным, чем завоевания нашего века.

Но если трудно дать себе отчет, не прибегая к специальным исследованиям, в прогрессе математики с 1815 года, если мы еще недостаточно удалились от этой эпохи, чтобы правильно учесть истинную цену ее успехов, то все же можно утверждать, что в глазах потомства эти успехи несомненно уравновесят прежние завоевания науки. Но характер этого прогресса совсем особенный.

С одной стороны, независимо от самого предмета, играет роль и форма изложения. В этом отношении с самого начала века утверждается стремление перестроить по новому плану целиком или в частях уже воздвигнутое здание — либо потому, что основы его представляются недостаточно надежными, либо потому, что расположение частей его признается неудобным. Эта характерная тенденция, постоянство которой свидетельствует о могучей жизненности науки, дает начало весьма различным трудам, часто гениальным, но нам тем не менее представляющимся как-то мало связанными друг с другом.

Круг идей быстро расширяется благодаря распространению волнующих умы знаний; человеческий дух направляет свои поиски во все стороны, пробует все пути; в отличие от прежних условий, направление перестает быть общим, в особенности потому, что с этого времени лишь весьма немногим математикам удается одинаково успевать во всех отраслях науки; отныне ученым приходится специализироваться.

Хотя все без исключения доктрины подверглись переработке, но нигде, быть может, последняя не оказалась более своеобразной, чем в геометрии, где уважение к греческим образцам казалось освященным непоколебимой традицией; не только идеи Дезарга в XVII веке о новых принципах доказательства получили совершенно неожиданное развитие, но быстро возникают и другие, столь же плодотворные, нарождается вполне новая современная наука. Но подъем мысли идет еще дальше: математиками исследуется и доказывается возможность обосновать геометрию, отбросив постулат Эвклида.

С другой стороны, новые открытия, изучение функций, к которым привело интегральное исчисление, особенно же эллиптических функций, открыло в анализе область, дотоле не исследованную, где чистое умозрение пожало обильнейшие жатвы и получило возможность быть приложенным при помощи истинно научных методов к задачам физики, разрешившимся в предшествующем веке путем гипотез, обыкновенно недостаточно широких и в силу этого сомнительных. Истинные начала приложения математики к физике зарождаются, таким образом, лишь в XIX веке; то, что выработали предыдущие века, больше всего пригодилось астрономии.

Эту эволюцию новой математики мы попытаемся изобразить лишь в общих чертах; нижеследующий сжатый очерк даст, надеемся, возможность оценить важность той части развития математики, которая относится к периоду с 1815 по 1847 год.

Современная геометрия: Понселе, Шаль, Мебиус, Штейнер. Монж основал во Франции блестящую школу геометров [56] , по большей части находивших применение своим познаниям на военной или гражданской службе; один из них, Понселе (1788–1867), офицер инженерных войск, взятый в плен под Красным и живший в Саратове в продолжение 15 месяцев, составил там без помощи какой бы то ни было книги заметки [57] , из которых составилось капитальное сочинение под названием Трактат о проективных свойствах фигур (т. е. свойствах, не изменяющихся от проектирования). С другой стороны, Пон-селе развил теорию взаимной полярности и вывел из нее закон двойственности. Но его работы, посланные в Академию наук в 1824 году, не встретили того приема, какого он ожидал; Коши в своих докладах ставил новую геометрию ниже анализа [58] , и Понселе, надолго сохранивший об этой сравнительно маленькой неудаче неприятное воспоминание, отдался почти исключительно изучению практической механики [59] .

Зато Брюссельская академия [60] открыла двери этой науке, добившейся здесь полного торжества. Две записки Мишеля Шаля (1793–1880), представленные в декабре 1829 года и весьма полно обработанные для напечатания, закончились знаменитым Историческим очерком (Apergu historiqueJ, за которым последовала Записка о двух общих принципах науки — двойственности и гомографии (Memoire sur deux principes generaux de la science, la dualite et la homographie, 1837), имевшая громадный успех. Шаль, который по окончании Политехнической школы в 1814 году в течение 10 лет состоял биржевым маклером, с 1828 года всецело отдался науке и выдвинулся многочисленными статьями, напечатанными в Journal de YEcole poly technique, в Annales mathematiques Жергона [61] и в Correspondance Кетле. В 1841 году он получил кафедру геодезии и теории машин в Политехнической школе, в 1846— кафедру геометрии в Сорбонне, но ему суждено было войти в Академию только в 1851 году. Его карьера этим далеко не закончилась, и он был одним из немногих математиков, до самой старости сохранивших гениальную способность к открытиям.

Между тем Германия, где математические традиции свили себе не такое прочное гнездо, как во Франции, с жаром устремилась на новый путь.

Пруссак Мебиус (1790–1868), ученик Гаусса, с 1815 года профессор в Лейпциге, в 1827 году обнародовал свое Барицентрическое исчисление (Бег barycentrische CalculJ и напечатал множество трудов в Журнале Крелле (Journal fur die reine und angewandte Mathematik), основанном в Берлине в 1826 году. Главной заслугой Мебиуса является исследование новых логарифмов, усовершенствование системы обозначений, употребляемых для упрощения геометрических рассуждений и вычислений. Он же первый предложил ввести в употребление новые системы координат.

Якоб Штейнер (1786–1863), родившийся в Бернском кантоне, поселившийся в Берлине и подружившийся с Крелле, издал в 1832 году свое Систематическое развитие зависимых геометрических образов друг от друга (Systematische Ent-wicklung der Abhdngigkeit geometrischer Gestalten voneinander), которое вместе с Геометрией положения Штаудта (1847) [62] составляет основу синтетической геометрии в ее нынешней форме. В 1834 году для Штейнера в Берлине создали новую кафедру, которой он стяжал громкую славу. Открытия Штейнера относительно свойств кривых и поверхностей высших порядков так быстро следовали одно за другим, что он нередко помещал их без доказательств в Журнале Крелле, где они долгое время составляли проблемы для исследователей. Штейнер словно ненавидел анализ и старался привести его в такое состояние, чтобы развитие его мыслей нельзя было проследить. В некоторых случаях, по признанию Гессе, ему это удавалось. Имя Штейнера по справедливости связывается с двадцатью семью прямыми и характеристическим пентаэдром, принадлежащим к поверхностям третьего порядка.

Heэвклидовы системы: Лобачевский, Болиай. На арену научной мысли вступают славяне и венгры, дебют которых отмечен необычайной смелостью.

Как известно, Эвклид принимал без доказательств то, что в плоскости через точку можно провести только одну прямую, которая, сколько бы ее ни продолжали, не встретит другой данной прямой. Этот постулат, еще в древности бывший объектом многочисленных попыток доказательства, так и остался камнем преткновения. Но очень немногим геометрам приходила в голову мысль попробовать вывести следствия из противоположной гипотезы, по которой через данную точку можно провести, не встречая данной прямой, бесконечное множество прямых, заключенных в угле, величина которого зависела бы (по особому закону, который надлежит определить) от расстояния точки от данной прямой [63] .

Лобачевский (1793–1856), казанский профессор, изложил в 1829 году свои взгляды в очерке, а в 1836–1838 годах обнародовал свои Новые начала в геометрии с полной теорией параллельных, где он развил в ясной и точной форме гипотезу, обратную эвклидову постулату. Его сочинения, написанные по-русски, долго оставались неизвестны за границей, и краткое резюме его Воображаемой геометрии, которое он напечатал в Берлине в 1840 году, также прошло незамеченным.

Трансильванец Вольфганг Болиай (1775–1856) учился в Германии и был соучеником Гаусса. Занимая кафедру в Марош-Ва-шаргели в течение 47 лет, он составил себе репутацию сколь оригинального, столь же и скромного ученого. Главное его сочинение Tentamen (1832–1833) снабжено прибавлением в 26 страниц, озаглавленным Абсолютная наука о пространстве и принадлежащим его сыну Иоганну Болиай (1802–1860). В этом-то прибавлении и содержатся в сжатом виде ввшоды, вытекающие из отказа от эвклидовой гипотезы, развитой до своих аналитических следствий, из коих ясно видна невозможность найти какое-нибудь противоречие в результате этого отказа.

Из этих работ вытекало не только то, что постулат Эвклида недоказуем, но что он даже имеет характер гипотезы, а не необходимой a priori истины. Этому выводу большой философской важности предстояло позже быть распространенным на аксиомы, составляющие отправную точку геометрии, а вследствие этого глубоко изменить воззрения математиков на роль их науки.

Аналитическая геометрия: Плюкер, Гессе. Чтобы удержаться на высоте, достигнутой синтетической геометрией, необходимо было преобразовать, в свою очередь, и аналитическую геометрию. Наибольшее влияние в этом смысле оказал на последнюю Юлиус Плюкер (1801–1868), родившийся в Эль-берфельде. Состоя до 1846 года профессором физики в Бонне, он тем не менее занимался и чистой математикой. В 1828 и 1831 годах он издает свои два тома Аналитико-геометричесшх исследований (Analytisch-geometrische EntwiMungen), где впервые излагается система однородных координат (по существу тождественная с системой Мебиуса); в 1834 году Плюкер издает свою Систему аналитической геометрии, заключающую в себе полную классификацию кривых третьего порядка; в 1839 году — свою Теорию алгебраических кривых (Theorie der algebraischen Kurven), в которой перечисляются кривые четвертого порядка и даны аналитические соотношения, связывающие особые точки плоских кривых. «ЭтиуравненияПлю-кера, — говорит Кэйли, — бесспорно составляют важнейшее открытие во всей современной геометрии». Но если труды Плю-кера были оценены по достоинству в Англии и Франции, то этого нельзя сказать про Германию, где он не удостоился благосклонности берлинских ученых. Штейнер даже заявил, что перестанет сотрудничать в Журнале Крелле, если там будут продолжать печатать труды Плюкера. Вдобавок, как профессора физики, его упрекали в том, что он пренебрегает своей наукой. Копчилось тем, что Плюкер оставил свои занятия по аналитической геометрии и в течение 15 лет с лишним работал в области математической физики, которую сильно двинул вперед. Позже он с блестящим успехом продолжал свои любимые исследования.